ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ6

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516: １３２人目の素数さん [] 2024/02/09(金) 17:00:13.56 ID:3RLhARqe

>>515
>＞原文PDF見ればいいだけでしょ？
>＞そこに、証明も書いてあるし 定義もあるよ

やれやれ、数学文献を読めなくなった 落ちこぼれの 数学イップスは哀れだなｗ
まあ、他の人の参考になるだろうから、下記を引用しよう
（おっと、原文PDFを見る方が圧倒的に見やすいよ。なにせ、定積分∫さえまともに書けない板だからね（本来積分範囲は小さい字で表すよ））

そうそう、桂田祐史先生が
P5 "細かいことを無視して言い切れば"、
P21 "注意事項も多いが、最初は飛ばして、大筋をつかんでから、読み直してもらえればよい"
には、大賛成だな。数学イップスの真逆だな
「まず、細かいことを無視して 最初は飛ばして、大筋をつかんでから、読み直してもらえればよい」
ってことだね。これが出来ないやつで、数学イップスになった落ちこぼれがいたなｗｗｗ

(参考)
http://nalab.mind.meiji.ac.jp/~mk/lecture/kaisekigairon-2/kaisekigairon2-part1.pdf
解析概論II第1部(多変数関数の積分) 桂田祐史 2005年12月6日
序
この文書は明治大学数学科2年生後期の講義科目「解析概論II」の第1部(内容としては多変数関数のRiemann積分を扱う)の講義ノートである
P5
0.1.2 3つの要点
積分の定義は結構込み入っているので、迷子にならないように、イメージを作るのに役立つヒントを3つ述べる。
1.「積分は測度である」既に知っているように(細かいことを無視して言い切れば)、1変数関数の積分は面積である。
積分について考えることは測度について考えることであり、どちらかを先に定義すれば、他方はもう一方からすぐ定義できる。
2.「積分は和に似ている」
略

P21
1.2 Jordan可測集合上の積分
この節のあらすじ
まず前節で定義した積分を用いて、一般の図形(Rnの部分集合)のn次元Jordana測度*aを定義する:
µ(Ω):= ∫A χΩ(x)dx (ただしAはA⊂Ω◦となる閉方体、χΩはΩの特性関数).
すべての図形がJordan測度を持つとは限らない。
Jordan測度を持つ集合のことをJordan可測集合と呼ぶ。
Jordan可測集合Ω上で定義された有界関数f:Ω→Rの積分は次のように定義する(Dirichlet,1839年)。
∫Ω f(x)dx:= ∫A f(x)dx, f(x):= f(x) (x∈Ω),  0 (x∈A＼Ω).
*a Camille Jordan(1838–1922).

図形ΩのジョルダンJordan測度とは、Ωの特性関数(characteristic function)χΩの積分である。
(ある空間の部分集合の特性関数とは、その部分集合上で1,補集合上で0となる関数のことである。つまり
χΩ(x) def：= 1 (x∈Ω), 0 (x∈Ωc)で定義される関数χΩである。
しばしばΩの定義関数とも呼ばれる。)
以下にあげる二つの定義は、直観的にも納得しやすいものなので、必ず理解してもらいたい。
注意事項も多いが、最初は飛ばして、大筋をつかんでから、読み直してもらえればよい

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1704672583/516

995: １３２人目の素数さん [] 2024/05/13(月) 18:57:53.56 ID:Ug9jJCvB

>>992
(引用開始)
整数環Ｚ上の行列環を考える
行列
(1　0）
(0　2）
の整数環Ｚ上の行列環での逆行列は？　ないよね？
で、これって零因子行列？　違うよね？
(引用終り)

・なるほど、なかなかいいツッコミだね
・その話は、下記の松本眞 広大
　”命題1.4.1. A∈Mn(R)が可逆である必要十分条件は、detA∈Rx (ここでRxはRの乗法についての可逆元のなす群）”だね
　つまり、R＝Zとすると、Rx＝{1}つまり 整数環Z中には、1以外は逆元を持たないのです
　したがって、detA∈Rx となるときは、常にdetA＝１つまり、行列式が１ってことだね
・上記例示の行列（これ(1　0)と(0　2）とからなる行列（2行にわたるので1行におさめた））は、detA＝2で零因子ではないが（有理数体Qでは逆がある）
　逆行列も持たないね

まあ、下記の松本眞 広大 命題1.4.1. の通りってことで、謹んで訂正しますです、はい
ありがとね

(参考)>>972より再録
http://www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/m-mat/TEACH/kan-kagun7.pdf
代数学II：環と加群(注：5/28版：38ページ以降大幅書き直し予定)松本　眞1 2020 年5 月28 日
1広島大学理学部数学科

第1章環上の加群
1.4単因子論　19

P4
1.1 環上の加群
1.1.1 環、単位環、整域、体
環(R,+,0,x)とは、(R,+,0)が加法群であって、(R,x)が半群であり、左分配法則(a+b)xc=axc+bxc
と右分配法則cx(a+b)=cxa+cxbを満たすもの。
axbをしばしばa・bまたはabと書く。可換環とは、積が可換な環のこと。そうでないものを非可換環という。
単位環(R,+,0,x,1)とは、環であって、(R,x,1)がモノイドであるもの。

P19
1.4単因子論
行列について。Rを可換環とする。Mn,m(R)でnxmの成分の行列の集合をあらわす。
成分ごとの和とスカラー倍により、ランクnmの自由加群Rとなる。
n=mのとき、Mn,m(R)をMn(R)で表す。積が入り、単位環となる。
その積に関する（モノイドの）可逆元の集合Mn(R)xは群をなす。
これをGLn(R)で表す。
A∈Mn(R)がGLn(R)に入る必要十分条件は、AB=En=BAなるBが存在することになる。
このような行列を可逆行列という。

命題1.4.1. A∈Mn(R)が可逆である必要十分条件は、detA∈Rx (ここでRxはRの乗法についての可逆元のなす群）。
証明. A˜をAの余因子行列とする。線形代数でならったようにAA˜=det(A)・En=AA˜である。
従って、det(A)がRの可逆元ならば1/det(A) ˜がAの逆元を与える。
逆に、Aが可逆ならばAB=Enのdeterminantをとってdet(A)det(B)=1、すなわちdet(A)∈Rx。
(引用終り)

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1704672583/995

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