ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ6

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338: １３２人目の素数さん [] 2024/02/01(木) 23:50:11.52 ID:o51DrX5C

＜メモ＞
ルベーグ積分入門∗会田茂樹 東京大学
演習問題 6.2 リーマン積分可能 条件

https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~aida/lecture/19/Lebesgue-text2.pdf
ルベーグ積分入門∗会田茂樹 ∗2007.11.5版

P5
2リーマン積分2.1平面上の積分ここではリーマン積分の定義を思い出す。記述を簡単にするため、2次元(平面)の場合に述べるが、一般次元でも同じである。

S(f),s(f)については次のDarbouxの定理が基本的である。
定理2.2 略

注2.4 (1)f(x,y)が連続ならば可積分である。実は可積分になるための必要十分条件はf(x,y)の”不連続点の集合の測度ゼロ”ということが知られている。これについては演習問題6.2を参照せよ。

P28
6リーマン積分とルベーグ積分の関係

Ｐ29
演習問題 6.2 上の証明でf(x)=f(x)=f(x)a.e.x∈Iが示されたわけだが、これはf(x)がほとんどすべてのxで連続であることを示している。なぜか？また、逆に関数の不連続点全体の集合のルベーグ測度がゼロならばリーマン積分可能であることもわかる。これを証明してみよ。

https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~aida/lecture/log.html
会田茂樹のホームページ 講義のページ 過去分

chrome-extension://efaidnbmnnnibpcajpcglclefindmkaj/https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~aida/lecture/24/analysisB1.pdf
ルベーグ積分入門前編∗会田茂樹 平成24年
∗後編と前編に分けることにしました.前期の講義でFubiniの定理の紹介まで進みましたが,証明も含めた説明は後期,後編で行います.

https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~aida/lecture/24/analysisB2.pdf
ルベーグ積分入門後編 会田茂樹 平成24年12月13日版∗

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1704672583/338

433: １３２人目の素数さん [] 2024/02/04(日) 18:15:54.52 ID:nLgILFYO

>>422 つづき
>６）さて、xが無理数のときの連続性の証明は？ これも、上記５）と同様なのですが、時間がないので 後ほど
>　（証明は、en.wikipedia Thomae's function にあります。お急ぎならこちらを）

ここの証明は、下記”数学ノート”が分かり易い
・手筋の一つは、「近傍の中で,分母がqの有理数を考えてみます.それは高々有限個しかありません.」
　また「このように取ったnに対して,分母がn以下でかつxの大きさ1の近傍での有理数を考えると,各分母で有限個しかないので,全体でも有限個の有理数しかありません.」です
・手筋のもう一つは、「1/q<1/n<ε」（εを1/n→1/q と考える）

あとは、定石εδに乗せることです
そうすれば、自然に証明が出来上がる

(参考)
https://math-note.com/thomae-function/
数学ノート 数学修士卒会社員による身の回りの数学に関する話
不思議な「トマエ関数」〜有理数で不連続,無理数で連続〜
2019年11月4日 / YUYU

無理数で連続となることの証明

無理数をxとします.
また,xの大きさ1の近傍をとります.つまり,x−1より大きく,x+1より小さい実数.
この近傍の中で,分母がqの有理数を考えてみます.
それは高々有限個しかありません.

こういう思考のもと,どんなに小さな数εを指定しても,無理数xのある近くの点sであれば,全てf(x)とf(s)の距離がε未満に取れることを示します.
まず,このどんなに小さな数εでも大きな数足せばn回足せば,1より大きくすることができます.
nε>1
これは「アルキメデスの原理」と呼ばれます.
そして,このように取ったnに対して,分母がn以下でかつxの大きさ1の近傍での有理数を考えると,各分母で有限個しかないので,全体でも有限個の有理数しかありません.

このxの近くにあるこれら有限個の有理数の中で,xに最も近い有理数（差の絶対値が最小）を選び,その差をδとします.
範囲(x−δ,x+δ)の中にあるような既約分数の分母qは,もはやn<qです.
なぜなら,n≤qだと,xに最も近い有理数（差の絶対値が最小）の条件に反するからです.

さいごに
さらにトマエ関数は,
・至る所で微分不可能
・リーマン積分可能で値は0
という面白い性質も持ちます.

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1704672583/433

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