ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ6

[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ6 (1002ﾚｽ)
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231: １３２人目の素数さん [] 2024/01/27(土) 13:09:40.41 ID:HL7mh5IY

>>230
>(参考)
>https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~kida/notes/fourier.pdf
>フーリエ変換と超関数 木田良才2020年2月28日

第0講ルベーグ積分 引用の最後
「本来,可測関数のルベーグ積分はルベーグ測度に基づいて定義されるので,ここでの説明とは逆の順序で論理が展開される」
これが ”オチ”かよｗ
木田良才先生は、関西人だな

(抜粋)
目次
序文v
第0講ルベーグ積分　1
序文このノートは2016,2017年度の東京大学理学部数学科向けの講義と2017,2018,2019年度の東京大学教養学部統合自然科学科向けの講義に基づいている.ともに3年生を主対象にした講義であり,主題はフーリエ解析と超関数である.

第0講ルベーグ積分
ユークリッド空間上にはたくさんの関数が存在するが, 目的に応じた関数に対して積分が定義で
きれば十分である. この講義で扱う関数は大抵, 連続なものを切り貼りしたり, もしくはその極限
として表されるものである. そのような関数は可測という性質をもっており, 常識的に定義される
関数はすべて可測と思ってよい. 選択公理を使えば可測でない関数の例を作ることは可能だが, こ
の講義で扱う関数については, それが可測でないことを心配する必要はまずない.

ルベーグ積分論がすっきりしている理由の一つは, どんな非負値可測関数に対してもその積分値
が, +1 になる場合も含め, 必ず確定するという点にある. もちろん, 積分値とよぶにふさわしいも
のが確定する. 例えば, 二つの関数f, g が任意の点x で不等式f(x)  g(x) を満たすならば, f の
積分値はg のそれ以下になる. 任意の実数値可測関数f は, その正の部分と負の部分への自然な
分解f = f+ - f− をもつ. f のグラフをかいたとき, 上の方へ出っ張る部分がf+ であり, 下の方
へ出っ張る部分を上下反転させたのがf− である. f+ とf− はともに非負値で可測なので, その積
分値が必ず定まる. そして両者の積分値が有限になるとき, f は可積分であるといい, f+ の積分値
からf− の積分値を引いたものをf の積分値として定義する(f+ とf− のうち片方だけが積分値
+1 をもつ場合でもf の積分値を+1 または-1 として定めることは可能だろうが, そういう
ものも積分可能であるといってしまうと, そういった関数の和が積分可能でなくなったりして面倒
である). 複素数値の関数の積分については, 実部と虚部に分けて定義すればよい.

リーマン積分との比較.
任意の非負値可測関数に対し,そのルベーグ積分の値が確定する一方,もしそのリーマン(広義)積分が確定するならば,+∞になる場合も含め,二つの積分値は一致する.これにより具体的な関数に対する計算ではリーマン積分が大いに使えるし,ルベーグ積分の値に対してリーマン積分での感覚が通用する(例えば,関数のグラフとx軸が囲む面積が積分値であるなど).非負値でない関数に対しては,定義の都合上,二つの積分の間に微妙な差異が生じることになるが,基本的には関数を正負の部分に分けてゆっくり考えればよい.

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1704672583/231

740: １３２人目の素数さん [] 2024/05/10(金) 15:36:28.41 ID:Wp42F/rf

つづき

https://en.wikipedia.org/wiki/Spherical_harmonics
Spherical harmonics
History
Spherical harmonics were first investigated in connection with the Newtonian potential of Newton's law of universal gravitation in three dimensions. In 1782, Pierre-Simon de Laplace had, in his Mécanique Céleste,
略
Each term in the above summation is an individual Newtonian potential for a point mass. Just prior to that time, Adrien-Marie Legendre had investigated the expansion of the Newtonian potential in powers o
略
The 19th century development of Fourier series made possible the solution of a wide variety of physical problems in rectangular domains, such as the solution of the heat equation and wave equation. This could be achieved by expansion of functions in series of trigonometric functions. Whereas the trigonometric functions in a Fourier series represent the fundamental modes of vibration in a string, the spherical harmonics represent the fundamental modes of vibration of a sphere in much the same way. Many aspects of the theory of Fourier series could be generalized by taking expansions in spherical harmonics rather than trigonometric functions. Moreover, analogous to how trigonometric functions can equivalently be written as complex exponentials, spherical harmonics also possessed an equivalent form as complex-valued functions. This was a boon for problems possessing spherical symmetry, such as those of celestial mechanics originally studied by Laplace and Legendre.
The prevalence of spherical harmonics already in physics set the stage for their later importance in the 20th century birth of quantum mechanics.

https://en.wikipedia.org/wiki/Methoden_der_mathematischen_Physik
Methods of Mathematical Physics is a 1924 book, in two volumes totalling around 1000 pages, published under the names of Richard Courant and David Hilbert. It was a comprehensive treatment of the "methods of mathematical physics" of the time. The second volume is devoted to the theory of partial differential equations. It contains presages of the finite element method, on which Courant would work subsequently, and which would eventually become basic to numerical analysis.

The material of the book was worked up from the content of Hilbert's lectures. While Courant played the major editorial role, many at the University of Göttingen were involved in the writing-up, and in that sense it was a collective production.

On its appearance in 1924 it apparently had little direct connection to the quantum theory questions at the centre of the theoretical physics of the time. That changed within two years, since the formulation of Schrödinger's equation made the Hilbert-Courant techniques of immediate relevance to the new wave mechanics.
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1704672583/740

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