ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ6

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174: １３２人目の素数さん [] 2024/01/25(木) 18:04:29.40 ID:zxKJrX2I

ちょっと古いが貼りますね
（これだけで、2011年ころの流れが分かる）

(参考)
https://www.math.chuo-u.ac.jp/ENCwMATH/
ENCOUNTERwithMATHEMATICS 中央大学
第55回　多変数複素解析　岡の原理--誕生から最近の発展まで-- 2011年2月21日(月), 22日(火)
https://www.math.chuo-u.ac.jp/ENCwMATH/ewm55.pdf
岡理論とその背景
大沢 健夫 (名古屋大学大学院多元数理科学研究科)
岡潔による上空移行の原理に始まりレビ問題（ハルトークスの逆問題）の解決に至る
理論を概観しながら、そのアイディアの背景となったポアンカレ以来の思想、特にファイ
バー束の導入やモース理論の誕生に至る解析学におけるトポロジー的手法の発達につい
て、手近な資料をもとにまとめてみる。

岡の原理とその一般化および精密化
大沢 健夫 (名古屋大学大学院多元数理科学研究科)
岡の原理はセールによって名付けられて以来、グラウエルトらによってベクトル束へ
と一般化され、フォルスターらによって完全交差多様体への応用に適した形に精密化され
た。これらの結果を概観し、未解決問題をいくつか紹介する。

岡多様体と拡張定理（Forstneric理論瞥見)
大沢 健夫 (名古屋大学大学院多元数理科学研究科)
シュタイン多様体の埋め込み問題の研究などが動機となって、グロモフらにより岡の
原理にはさらに磨きがかけられ、フォルストネリッチらによる最近の活発な研究へとつな
がって行く。その結果、岡理論の精髄が拡張定理にあることがますます明らかになって来
たように思われる。このような最近の研究動向を参考にしながら、岡の原理の行く末につ
いていろいろと考えてみたい。

強擬凸領域の幾何とアンビエント空間
平地 健吾 (東京大学数理科学研究科)
Fefferman はフィールズ賞を受賞した 1978 年頃には強擬凸領域の幾何と解析を新しい視
点から研究するプログラム [1] に取り組んでいました。このプログラムの指針は、リーマ
ン多様体上の熱核を用いた指数定理の証明を、強擬凸領域のベルグマン核におきかえて考
えよう、というものです。その第一歩がベルグマン核の漸近展開の幾何的な記述であり、
その過程で、強擬凸領域を１次元高いアンビエント空間 [3] とよばれるリッチ平坦ローレ
ンツ多様体に埋め込むアイディアを着想しました (Fefferman 自身はその後数年で研究分
野を大きく変えてしまいます)。アンビエント空間は後に Maldacena によって予想された
超弦理論における AdS/CFT 対応 [2] の記述の基本的な道具にもなり、現在では放物型幾
何学 [4] とよばれる分野にまで発展しています。この講義では複素解析から出発して、そ
の後 Fefferman のアイディアが人々によってどのように展開されていったのかを解説しま
す。(残念ながら超弦理論については勉強不足で説明できません。)

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1704672583/174

305: １３２人目の素数さん [] 2024/01/31(水) 00:07:36.40 ID:Rceb+sJ+

>>296
>https://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_integral
>Riemann integral
>Integrability

後半の
”We now prove the converse direction using the sets Xε defined above.[9] For every ε, Xε is compact, as it is bounded (by a and b) and closed:”
が、いまいち分からないので、pdfを探すと下記
西谷達雄先生
Lebesque積分 講義録 がヒット

こっちの方がまだ分かる　；ｐ）
以下、下記西谷PDFより抜粋
・P10 "1.3零集合の定義と特徴づけ"が良いね
・P11 ”定義1.3.2ある性質(P)が適当な零集合を除けば成立しているとき，ほとんど至る所(P)が成立するといい，(P)a.e.(almosteverywhere)と略記する．”
・P12 "1.4基本補題"「ここで今後の考え方の基礎となる補題を２つ証明する．これらは非負の階段関数列の単調減少列があったとき，その積分値の零極限の存在と関数列自身の殆ど至る所での零極限の存在の同等性を主張するものである．」
・P13 "1.5 Lebesgueの判定条件 いままでの考察をRiemann積分可能性の判定に応用してみよう．"
　（Darboux和使用）
・P14 "定理1.5.1f(x)がRiemann積分可能であるためにはf(x)=f(x),a.e.となることが必要十分である．"
　"証明：まずf(x)をRiemann積分可能としよう．Darbouxの定理1.1.1と系1.1.1によれば・・略"
・P16 "定理1.5.2 (Lebesgue)f(x)がRiemann積分可能であるための必要十分条件はf(x)の不連続点の集合が零集合となることである．
　証明：最初にf(x)がx=x0で連続であるための必要十分条件は・・略
　さて定理の証明に移る．f(x)をRiemann積分可能とすると，定理1.5.1よりf∼(x)=f(x)=f(x)=f(x)=f∼(x),a.e.従ってf(x)は殆ど至る所連続である．逆にf(x)が殆ど至る所で連続とする．このとき，殆どいたるところf∼(x)=f∼(x).従ってf(x)=f(x),a.e.ゆえに再び定理1.5.1よりf(x)はRiemann積分可能である．(証終)"

中途半端に、Lebesque積分やLebesque測度を使わずに証明しようとしているのかな？ en.wikipediaは
Darboux和（＝Darboux積分）は、使っている

(参考)
http://www4.math.sci.osaka-u.ac.jp/~nishitani/
西谷達雄,Department of Mathematics Osaka University
http://www4.math.sci.osaka-u.ac.jp/~nishitani/Lebesgue.pdf
Lebesque積分 講義録

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1704672583/305

834: １３２人目の素数さん [] 2024/05/12(日) 09:00:57.40 ID:qeZkOp9E

>>764
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１）再録>>754より
　”そもそもは、>>698”志村五郎は、著書で
「（数論志望以外の）大学生にガロア理論を教えても仕方ない　表現論教えたほうがいい」
　と書いてました”だった
　では、志村五郎のいう ガロア理論の代わりに教える「表現論」はどんなものなのか？
　それは、当然”ピーター・ワイルの定理”>>748ではないよねｗｗ
　もっと一般のいわゆる「表現論」です（下記 wikipedeiaのような）
　要するに、抽象的代数理論の群や環を、具体的なベクトル空間の線型変換、つまりは行列によって表現するものだ（下記）
　（志村氏は、それが（数論志望以外の）大学生にも、役立つ理論と考えたのだろう）”
　同様のことを、中島 啓氏も書いている
　名古屋大 柳田伸太郎先生が、数理科学展望I で、下記”量子力学の話題を動機とした Lie群とLie環の表現論の入門的説明”をしているので参考になるだろう
２）では、名古屋大では上記志村氏の通り、「（数論志望以外の）大学生にガロア理論を教えても仕方ない　表現論教えたほうがいい」
　を実行しているのか？　そうではないよね
　では、”数論志望以外の）大学生にガロア理論を教え”る効用とは何か？
　それはいろいろあるのでしょうね
　詳しくは無いが、一例は下記「ソリトン方程式とKac-Moodyリー環」柏原他
　冒頭、”Galoisの視点を,微分方程式に適用する試みの中から,リー群,リー環の概念は生まれた.線型微分方程式を,この立場で研究するものとして,Picard-Vessiot理論があり,そこに現われる群は,有限次元Lie群である”
　と始る（このソリトン方程式の理論は、微分方程式のGalois理論でもあり、リー群,リー環の表現論でもあると言えるかも）
　また、「ガロア理論とその発展」玉川安騎男（下記）では、グロタンディークの
　”現在の代数幾何学・数論幾何学”、”遠アーベル幾何”の話があり
　”１９世紀前半に生まれたガロア理論は、現代もなお強い生命力を持って進化しています”と結ばれる

結論として、a)ガロア理論、b)表現論、 a) or b)の二択問題 という 志村五郎氏の問題設定が時代遅れってことでしょうね
なお、余録で 中村 幸四郎先生の「ガロア理論の推移史について」がヒットしたので、貼っておきます
（デデキントのガロア理論講義の話が興味深い）
　
(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A1%A8%E7%8F%BE%E8%AB%96
表現論（英: representation theory）とは、ベクトル空間の線型変換として代数構造を表現することで代数構造上の加群を研究する数学の一分野である[1]。

https://www.ipmu.jp/sites/default/files/2024-03/monoshiri-17.pdf
中島 啓 - Kavli IPMU
2024/03/30 — 理論物. 理学に起源を持つゲージ理論の数学的なアプローチと、その表現論への ... ヤング図形. です。 ヤコビの. 三重積公式。 この ... ゲージ理論. クォーク.
表現論
数学では、あるものを行列で表すことを「表現」と呼ぶ。表現論は、あるものを行列
でどのように表すことができるのか考えたり、複数の表し方があったときにその間
にどのような関係があるのかを調べたりする数学の分野だ。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1704672583/834

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