ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ6

[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ6 (1002ﾚｽ)
上下前次1-新
通常表示 512ﾊﾞｲﾄ分割ﾚｽ栞
抽出解除ﾚｽ栞

このｽﾚｯﾄﾞは過去ﾛｸﾞ倉庫に格納されています｡
次ｽﾚ検索歴削→次ｽﾚ栞削→次ｽﾚ過去ﾛｸﾞﾒﾆｭｰ

287: １３２人目の素数さん [] 2024/01/30(火) 11:23:57.32 ID:0O1eEeBq

つづき

If this set does not have zero Lebesgue measure, then by countable additivity of the measure there is at least one such n so that X1/n does not have a zero measure. Thus there is some positive number c such that every countable collection of open intervals covering X1/n has a total length of at least c. In particular this is also true for every such finite collection of intervals. This remains true also for X1/n less a finite number of points (as a finite number of points can always be covered by a finite collection of intervals with arbitrarily small total length).

For every partition of [a, b], consider the set of intervals whose interiors include points from X1/n. These interiors consist of a finite open cover of X1/n, possibly up to a finite number of points (which may fall on interval edges). Thus these intervals have a total length of at least c. Since in these points f has oscillation of at least 1/n, the infimum and supremum of f in each of these intervals differ by at least 1/n. Thus the upper and lower sums of f differ by at least c/n. Since this is true for every partition, f is not Riemann integrable.

We now prove the converse direction using the sets Xε defined above.[9] ・・
(引用終り)

＜補足＞
１）Proofで、Darboux integral https://en.wikipedia.org/wiki/Darboux_integral
　に持ち込むのが、定石のようです
　Darboux integralを見ると、"supとinf" https://manabitimes.jp/math/1140 高校数学の美しい物語 sup(上限)とinf(下限)の意味，max・minとの違い 2022/08/15
　この"supとinf"は、数学では常用の手筋ですね
２）上記”One direction”は、「不連続の点の集合がmeasure zero→Darboux integral 不可」ですね
　背理法ですね。”If this set does not have zero Lebesgue measure, then by countable additivity of the measure there is at least one such n so that X1/n does not have a zero measure.”
３）そして、測度0でなければ
　”Thus these intervals have a total length of at least c. Since in these points f has oscillation of at least 1/n, the infimum and supremum of f in each of these intervals differ by at least 1/n. Thus the upper and lower sums of f differ by at least c/n. Since this is true for every partition, f is not Riemann integrable.”
　を導きます
　このとき、”oscillation ”https://en.wikipedia.org/wiki/Oscillation_(mathematics)
　を使って、不連続の評価をしています。（不勉強で、”oscillation ”は初見でしたが、面白いですね。定石かも）
　”For every positive ε, Let Xε be the set of points in [a, b] with oscillation of at least ε.”に続きます

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1704672583/287

587: １３２人目の素数さん [] 2024/03/08(金) 11:35:28.32 ID:MhH+/eu1

>>584
>Weilの数学史的な評価

下記がありますね
https://en.wikipedia.org/wiki/Andr%C3%A9_Weil
André Weil
Work
Among his major accomplishments were the 1940s proof of the Riemann hypothesis for zeta-functions of curves over finite fields, and his subsequent laying of proper foundations for algebraic geometry to support that result (from 1942 to 1946, most intensively). The so-called Weil conjectures were hugely influential from around 1950; these statements were later proved by Bernard Dwork, Alexander Grothendieck,Michael Artin, and finally by Pierre Deligne, who completed the most difficult step in 1973.

Weil introduced the adele ring in the late 1930s, following Claude Chevalley's lead with the ideles, and gave a proof of the Riemann–Roch theorem with them (a version appeared in his Basic Number Theory in 1967).His 'matrix divisor' (vector bundle avant la lettre) Riemann–Roch theorem from 1938 was a very early anticipation of later ideas such as moduli spaces of bundles. The Weil conjecture on Tamagawa numbers proved resistant for many years. Eventually the adelic approach became basic in automorphic representation theory. He picked up another credited Weil conjecture, around 1967, which later under pressure from Serge Lang (resp. of Serre) became known as the Taniyama–Shimura conjecture (resp. Taniyama–Weil conjecture) based on a roughly formulated question of Taniyama at the 1955 Nikkō conference. His attitude towards conjectures was that one should not dignify a guess as a conjecture lightly, and in the Taniyama case, the evidence was only there after extensive computational work carried out from the late 1960s.

Other significant results were on Pontryagin duality and differential geometry.He introduced the concept of a uniform space in general topology, as a by-product of his collaboration with Nicolas Bourbaki (of which he was a Founding Father). His work on sheaf theory hardly appears in his published papers, but correspondence with Henri Cartan in the late 1940s, and reprinted in his collected papers, proved most influential. He also chose the symbol ∅, derived from the letter Ø in the Norwegian alphabet (which he alone among the Bourbaki group was familiar with), to represent the empty set.

Weil also made a well-known contribution in Riemannian geometry in his very first paper in 1926, when he showed that the classical isoperimetric inequality holds on non-positively curved surfaces. This established the 2-dimensional case of what later became known as the Cartan–Hadamard conjecture.

He discovered that the so-called Weil representation, previously introduced in quantum mechanics by Irving Segal and David Shale, gave a contemporary framework for understanding the classical theory of quadratic forms.

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1704672583/587

606: １３２人目の素数さん [] 2024/03/23(土) 10:08:48.32 ID:fTmD/Yd1

>>604-605
スレの保守ありがとうございます

・PSH関数の幾何と解析の展開： ”多重劣調和(plurisubharmonic=psh)”か
・エバンス関数とコンパクト化：下記 明治非線型数理セミナー Evans関数か

(参考)
https://www.math.sci.hokudai.ac.jp/~ishikawa/
幾何学者石川剛郎
https://www.math.sci.hokudai.ac.jp/~ishikawa/Numazu-Shizuoka/26thShizuokaMeeting.html
第２６回　沼津改め　静岡研究会
---　幾何，数理物理，そして量子論　---
【日時】　２０１９年３月６日
https://www.math.sci.hokudai.ac.jp/~ishikawa/Numazu-Shizuoka/ohsawa-26.pdf
3月7日(木)
10:30〜11:20　大沢 健夫（名古屋）【講演内容】
解析接続の問題に関連する解析と幾何
Ｐ3
3 消滅定理と有限性定理
Mが強擬凸であるとは、M上にC^2級の多重劣調和(plurisubharmonic=psh)な皆既関数(exhaustion function)があって、補集合がコンパクトな集合上で強多重劣調和になっていることをいう。

https://sites.google.com/view/nmath-meiji
明治非線型数理セミナー
2020.9.1 (火) 15:30〜16:30, 16:45〜17:45
2020年度第4回明治非線型数理セミナー
講演者： 関坂 歩幹（明治大学）
講演題目：Evans関数の入門と応用
概要：Evans関数は，Evansが神経方程式系の進行パルス解の安定性を論じるために，線形化作用素の固有値問題に対して構成した複素平面上の解析関数である．Evans関数の性質として，複素平面のある有界閉領域の零点の個数が，作用素の固有値と重複度を込めて一致するというものがあり，現在では固有値問題を調べるための手法の1つとして確立している．
近年，Evans関数はKdV方程式などのHamilton系や，一般化スペクトルへの拡張などが行われている．本講演では，Evans関数によるEvans関数の問題設定からはじめて，種々の問題に応じて拡張された様々なEvans関数の応用について説明する．また，時間があれば，位相幾何学的枠組みで定式化されるEvans関数と，その位相的性質を抽出する方法についても述べる．

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1704672583/606

712: １３２人目の素数さん [] 2024/05/10(金) 11:14:39.32 ID:Wp42F/rf

>>698
(引用開始)
志村五郎は、著書で
「（数論志望以外の）大学生にガロア理論を教えても仕方ない　表現論教えたほうがいい」
と書いてました
表現論は数学科以外の学生にも有意義でしょうからね
ただ、いまだにそうはなってないようですけど
(引用終り)

・志村五郎先生のお話は、数学漫談としては面白いかもしれませんが
　まじめに受け取らない方がよさそうに思います
・まず、現実に ガロア理論 は、多くの大学教程で教えられている
　（例 東京女子大 大阿久 俊則（下記））
・思うに、ガロア理論を教える意義は
　１）抽象代数学の原点（ここから抽象代数学がはじまった）
　２）ガロア理論を学べば、群や体論をより深く理解できる
　３）ガロア理論をモデルとした数学の理論が多数発展した（ガロア理論がひな形）
　など。これを、教える側も期待していると思われる
・なお、”ガロア理論”は ”ちまた”でも人気がありまして
　いまなお、いろんな解説書（非数学科向けも）が出て、それなりに商売になっているようです ；ｐ）
・数学科出身を名乗ったら、「ガロア理論 わかりません」も言いにくいでしょうし・・ｗ

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BF%97%E6%9D%91%E4%BA%94%E9%83%8E
志村 五郎（しむら ごろう、1930年〈昭和5年〉2月23日[1] - 2019年〈令和元年〉5月3日[2]）は、日本出身の数学者[1]。プリンストン大学名誉教授[2]。専門は整数論。静岡県浜松市出身

https://www.lab.twcu.ac.jp/~oaku/index_jp.html
大阿久 俊則 (おおあく としのり)
東京女子大学名誉教授（元数理科学科教授）
専門：代数解析学
講義録（学部）
12.ガロア理論入門, 「ガロア理論入門」演習問題解答,
https://www.lab.twcu.ac.jp/~oaku/galois.pdf
はじめに
5次以上の代数方程式の根の公式は存在しないが，個々の方程式の根を（四則演算と根号を用いて）具体的に表せる場合もある．フランスのガロアは年の遺稿の中で，与えられた方程式の根が四則演算と根号を用いて表示できるための必要十分条件を，方程式に付随した群（群と呼ばれる）の性質を用いて与えた．そのために体とその拡大の概念を導入した．これがガロア理論の原型である．体の拡大と群との対応を記述することがガロア理論の本質であり，代数方程式の可解性の問題は（歴史的には重要であったが現在では）その応用の１つに過ぎない．この講義では，ガロア理論の基本的な部分を群，環，体などの現代の代数学の言葉を用いて解説する．体としては複素数体の部分体（古典的な場合と呼ばれる）を主に扱う．なお，「環と加群の基礎」の内容，特に単項イデアル整域についての事項は既知として自由に用いるので，必要に応じて参照してください．

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1704672583/712

上下前次1-新書関写板覧索設栞歴

ｽﾚ情報赤ﾚｽ抽出画像ﾚｽ抽出歴の未読ｽﾚ AAｻﾑﾈｲﾙ

ぬこの手ぬこTOP 0.034s