ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ6

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9: １３２人目の素数さん [] 2024/01/08(月) 10:17:26.03 ID:OXe7qSh4

藤野修先生は、令和５年 大阪科学賞を受賞されています
おめでとうございます

(参考)
https://osaka-prize.ostec.or.jp/41-1
第４１回（令和５年度）
大阪科学賞（OSAKA SCIENCE PRIZE）受賞者の横顔
藤野　 修　（ふじの　おさむ）　　　４９歳

研究業績：小平消滅定理の一般化と代数幾何学への応用
代数多様体とは、大雑把に言うと、有限個の多項式の共通零点集合のことです。高校の教科書に出てくる円、楕円、放物線などは代数多様体です。
もっと簡単な平面上の直線も代数多様体です。高校では主にxy平面上で幾何学図形を考えます。これは二次元の空間内で一次元の代数多様体を考えることに対応します。xyz空間の中の球面も代数多様体です。これは三次元空間内の二次元の代数多様体です。
このように代数多様体は素朴な幾何学的対象です。ここで変数の数を増やしてみましょう。幾何学的には高次元の空間を考えることになります。高次元の空間内で複数の代数多様体の交わりを考えます。私たちはこのような幾何学図形を日々研究しています。
日本人フィールズ賞受賞者３名の仕事も高次元代数多様体に関するものです。
残念ながら高次元の代数多様体は絵に描くことができません。
そこで私たちは抽象的な数学理論を展開します。高次元代数多様体論の究極目標の一つは双有理分類という大雑把な分類を完成させることです。
現在の標準理論は、森重文によって1980年代に創められた森理論や極小モデル理論と呼ばれるものです。
私は小平の消滅定理と呼ばれるコホモロジーの消滅定理の一般化を確立し、広中の特異点解消と小平消滅定理の一般化を駆使して森理論の適用範囲を究極的に拡張するという仕事をしました。
ホッジ理論的な観点からは理論の混合化を実行したことになります。
これにより、従来不可能であったぐちゃぐちゃに潰れた高次元代数多様体の研究も可能になり、代数多様体の退化や特異点の研究などに応用されています。
このような基礎研究が実社会で応用される日が来ることを夢見ています。

代数多様体とは？

代数多様体の双有理分類
すでに述べましたが、代数多様体論の究極目標の一つは、代数多様体を双有理的に分類することです。

数学者の日常

小平の消滅定理の一般化

ホッジ構造
非特異射影多様体のコホモロジーにはホッジ構造と呼ばれる構造が入ります。これは純ホッジ構造と呼ばれるものになっています。一般の代数多様体のコホモロジーには純ホッジ構造は入らないのですが、混合ホッジ構造と呼ばれる純ホッジ構造を拡張したものが入ります。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1704672583/9

717: １３２人目の素数さん [] 2024/05/10(金) 11:38:37.03 ID:Wp42F/rf

>>698
(引用開始)
志村五郎は、著書で
「（数論志望以外の）大学生にガロア理論を教えても仕方ない　表現論教えたほうがいい」

・表現論ね
　表現論として、何を教えるのか？
・（下記）”ガロア理論と表現論-ゼータ関数への出発, 黒川信重 (2014), 日本評論社”
　など、黒川氏の視点では、ガロア理論と表現論は対立関係には ないように見えます
（この本は、書店にあったような気もするが・・、中身を見た記憶がないです）

(参考)
//ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A1%A8%E7%8F%BE%E8%AB%96
表現論（ひょうげんろん、英: representation theory）とは、ベクトル空間の線型変換として代数構造を表現することで代数構造上の加群を研究する数学の一分野である[1]。本質的には、表現は抽象的な代数的構造を、その元と演算を行列と行列の和や行列の積で記述することで、より具体的にする。この記述で扱われる代数的対象には、群や結合代数やリー代数がある。これらの中で最も優れているものは、歴史的にも最初に現れた群の表現論であり、群の演算が行列の積で、群の要素が正則行列で表現されている[2]。

表現論は、抽象代数学の問題を良く理解されている線型代数の問題へと帰着させるので、強力なツールである[3]。さらに、群が表現されているベクトル空間が無限次元になることやヒルベルト空間になることも可能であり、その場合、函数解析の方法が群の理論へ適用可能となる[4]。表現論は物理学でも重要であり、例えば、物理系の対称群が、どのように物理系を記述する方程式の解へ影響するかを記述する[5]。

表現論の著しい特徴は、数学での広がりにある。そこには、2つの面がある。ひとつの面は、表現論の応用が多岐にわたっていることであり[6]、表現論は代数への影響のみならず、以下のような応用も持っている。

調和解析を通してフーリエ解析を広く一般化する[7]
不変式論（英語版）とエルランゲン・プログラムを通して深く幾何学とつながっている[8]。
さらに、数論へは保型形式やラングランズ・プログラムを通して深く影響を持っている[9]。
もうひとつの面は、表現論へのアプローチの広がりである。同じ対象が代数幾何学、加群の理論、解析的整数論、微分幾何学、作用素理論、代数的組み合わせ論（英語版）(algebraic combinatorics)、トポロジーの方法で研究できる[10]。

表現論の成功は、多くの一般化を生み出した。その一般的な理論は圏論の中にある[11]。適用する代数的対象を特別な圏として、対象のなす圏からベクトル空間の圏（英語版）(category of vector spaces)への函手を表現とみなすことができる。この記述には 2つの明白な一般化がある。ひとつは代数的対象をより一般的な圏により置き換えることが可能であり、第二には、ベクトル空間のなす圏を別の良く知られた圏に置き換えることが可能である。

参考文献
和書
・ガロア理論と表現論-ゼータ関数への出発, 黒川信重 (2014), 日本評論社, ISBN 978-4-535-78589-2.
・平井武・山下博、表現論入門セミナー -- 具体例から最先端にむかって、遊星社。
・岩堀長慶、対称群と一般線形群の表現論、岩波講座基礎数学、 岩波書店。

//en.wikipedia.org/wiki/Representation_theory
Representation theory

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1704672583/717

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