ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ6

[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ6 (1002ﾚｽ)
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335: １３２人目の素数さん [] 2024/02/01(木) 18:36:11.02 ID:nkXreRAg

つづき

可算無限個の長方形を使った測度を考えます。図形（平面の有界な集合）Sを，重なりを許した
可算無限個の長方形I1,I2,...で覆ったとき，それらの長方形の面積I1, I2,...の和の下限inf ∞ ? i=1 IiをSのルベーグ外測度といい，m∗(S)で表します。

カラテオドリの意味の可測性もなりたつことが知られています。より一般的には，上の性質１〜３を満たすm∗を外測度といい，それがある集合に対してカラテオドリの意味で可測であるとき，その集合を可測集合といい，その外測度を測度とよびます。

零集合と「ほとんどいたるところ」
ここまでの議論をふまえて，最初の「有理数全体の幅」の問題を考えます。ここまでは平面上の図形を長方形で覆うイメージを思い浮かべてきましたが，ここでは，数直線上のある集合を「区間」を組み合わせて覆うことを考えます。有理数は可算無限個あるので，ジョルダン測度の考え方で「幅」を考えることはできません。そこで，ルベーグ測度で考えます。有理数は可算ですから，通し番号をつけてa1,a2,...an...と表すことができます。ルベーグ測度の考えでは，有理数の集合が数直線上でもつ幅は，有理数全体を区間の組み合わせ（重なってもよいことに注意）で覆ったときの，区間の長さの合計の下限です。そこで，εを任意の正の数とし，a1を幅ε/2の区間で，a2を幅ε/2^2の区間で，・・・，anを幅ε/2^nの区間で覆うとします。このとき区間の長さの合計は
ε/2+ ε/2^2+・・ + ε/2^n+・・ =ε
となります。εは任意の正の数ですからいくらでも小さくすることができるので，区間の長さの合計の下限は0となります。すなわち，有理数全体のルベーグ測度は0となります。

したがって，最初の問題
で，積分区間内の有理数に対応する線を，積分からすべて抜き取っても，積分の値（面積）は変わらない，ということになります。ルベーグ測度に対する有理数の集合のように，測度が0である集合のことを零集合といいます。また，「測度0の集合を除いた部分で」ということを，ほとんどいたるところ5で，といいます。次回は，ルベーグ測度を基盤として構成された積分（ルベーグ積分）によって，これまで学んだ積分（リーマン積分）では表現できない積分を表すことを考えます。
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1704672583/335

480: １３２人目の素数さん [] 2024/02/06(火) 16:29:02.02 ID:waUghugl

>>450
>なるほど
>「ジョルダン外測度とジョルダン内測度の差が0になる」
>がまずいかな
>トマエ関数のように、有理数の点が稠密に分布している場合には
>ジョルダン測度を使うのが、根本的な間違いかもね

さて 戻る
１）まず、前振りです
　wikipediaジョルダン測度より https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B8%E3%83%A7%E3%83%AB%E3%83%80%E3%83%B3%E6%B8%AC%E5%BA%A6
　(引用開始)（文字化けご容赦。他も同様）
　ジョルダン測度の定義は、そのような容積が（折れ線や三角形・台形や球体のような図形がそうであるように）より複雑な図形に対しても厳密に定まるために満たされるべき、適当な条件（可測条件）を明らかにするものである。しかし、与えられた集合が（古典的な意味での「容積」としての）ジョルダン測度を持つには、それが極めて素直（英語版）な性質を持つ必要がある（それでも実用上現れる集合の多くはそれを満足する）ことが分かっており、したがってそのような集合はある意味では限定的である（それゆえ、ジョルダン測度をより大きな集合のクラスに対して拡張したルベーグ測度を用いるのが現在ではより一般的である）。

歴史的に言えば、ジョルダン測度が最初に現れるのは19世紀の終わりにかけてであり、歴史的経緯で「ジョルダン測度」(Jordan measure) の語はすでに浸透した用法となってはいるが、現代的な定義で言えば真の測度 (measure) ではない（ジョルダン可測な集合全体は完全加法族をなさない）ことに注意が必要である。例えば、一点集合 {x} (x ∈ R) は何れもジョルダン測度零であるが、そのような集合の可算和になる Q ∩ [0, 1] はジョルダン可測でない[注釈 1]。
　線型汎函数としての「ジョルダン測度に関する（ルベーグ式の）積分」は（ルベーグ測度に関する（ルベーグ式の）積分がルベーグ積分であるというのと同じ意味で）リーマン積分である。

ジョルダン可測でない例
ジョルダン内測度、ジョルダン外測度はユークリッド空間内の任意の集合に定義されるにも拘らず、ジョルダン内測度とジョルダン外測度が一致し（あるいは境界がジョルダン測度零で）なければならないという「可測条件」は、ジョルダン可測となる集合の種類を極めて制限することになる。

任意のコンパクト集合はジョルダン可測とは限らず、実際に例えば太いカントール集合はジョルダン可測でない[4]。

同様に有界な開集合も必ずしもジョルダン可測とは限らない。例えば太いカントール集合の（区間の中での）補集合は可測でない。

有界集合がジョルダン可測となるための必要十分条件は、その定義函数がリーマン可積分となることである[5]。（[5]^ Volume - PlanetMath https://planetmath.org/Volume.（英語）。なお杉浦光夫『解析入門I』ではこれを体積確定（＝ジョルダン可測）の定義としている。）

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1704672583/480

502: １３２人目の素数さん [] 2024/02/07(水) 21:57:16.02 ID:jEl6Lbz4

>>497 追加燃料投下！

Jordan測度くわしい！

http://nalab.mind.meiji.ac.jp/~mk/lecture/
桂田祐史の講義のサポート・ページ 明大
http://nalab.mind.meiji.ac.jp/~mk/lecture/kaisekigairon-2/
解析概論II (2005年度)
　解析概論IIは明治大学数学科の学生を対象とした、 多変数関数の積分、ベクトル解析についての講義科目です。 (多変数関数の微分法については、古い講義のページですが、 「解析概論I」を参考にして下さい。)
講義ノート
『解析概論II 第1部』 (PDF), (DVI), (PS)
『解析概論II 第2部』 (PDF), (DVI), (PS)

http://nalab.mind.meiji.ac.jp/~mk/lecture/kaisekigairon-2/kaisekigairon2-part1.pdf
解析概論II第1部(多変数関数の積分)桂田祐史2005年12月6日
序
この文書は明治大学数学科2年生後期の講義科目「解析概論II」の第1部(内容としては多変数関数のRiemann積分を扱う)の講義ノートである。

P16
Lebesgue積分について独習したい人には、志賀[9],新井[1]、授業の参考書としては伊藤[2]、歴史的なところに興味がある人には、もちろんルベーグ[29],それと見過ごされやすそうな3吉田[26]を勧める。
[26]吉田耕作,現代解析入門後篇「測度と積分」,岩波書店(1991).

P21
1.2 Jordan可測集合上の積分

P24
1.3二つの零集合
1.3.1はじめに
そこで「Jordan零集合」と「Lebesgue零集合」という表現を採用することにした。…余談になるが、あるとき解析概論IIで(Lebesgue)零集合を取り上げることを某先生から
非難されたことがある。今一つ真意がはっきりしない物言いだったのだが、Lebesgue測度論(積分論)の概念を密輸入してペダンティックなことをやっている、という意味であると解釈した。確かにLebesgue零集合はLebesgueが定義したもので、(Riemann)可積分条件の定理もLebesgueが得たものであるが、Lebesgue零集合の定義にLebesgue測度は必要ないし、可積分条件の定理もLebesgue積分に関する定理ではなく、あくまでRiemann積分に関する定理である。そして—ここが大事なところだが—この定理は美しい。また一度この定理を得ると大変に見通しがよくなり、その後の議論の歯切れがよくなる。20世紀に多くの微積分の教科書が書かれたわけだが、このLebesgueの定理を紹介していないものが多いのは、もったいないと思う。

P25
1.3.2 Jordan零集合—Riemann積分で無視可能な集合

P28
1.3.3 Lebesgue零集合—Riemann積分の可積分条件の記述(この節の記述は、主にスピヴァック[14]による。)
この節の目的
前節の議論だけでは、可測性、可積分性(積分可能性)のイメージがつかみずらいだろうから、少し補足する。
授業では定理の紹介するが、証明はしない(一応書いておくが)。大意をつかんでもらえれば十分と考えている。
「Lebesgue零集合」という“小さい”集合を定義しておくと、
ΩがJordan可測⇐⇒ Ωの境界がLebesgue零集合である
有界関数f:Ω→Rが積分可能である⇐⇒ fの不連続点全体の集合がLebesgue零集合である
のようにきれいに可測性、可積分性が判定できる、というのがミソである。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1704672583/502

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