ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ6

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778: １３２人目の素数さん [] 2024/05/11(土) 09:58:04.00 ID:k0FyGno+

>>760-763
ありがとう
それ（柳田先生）、面白いね

だが、きちんと読むと、量子力学と元素の周期律をツカミにして
Lie群とLie環の表現論入門をやっているってことだね

それはあたかも、>>764に示したごとく
3次方程式の解法にカルダノの方法を導入として
代数方程式のガロア理論を語るが如しだ

実際、下記の柳田先生のpdfをちゃんと読むと
表現論で、元素の周期律が全て説明できるわけではないことが分る
(あくまで第一近似で、スピンなどは天下りで導入している
　つまり表現論が、第一近似の部分の説明に使えるってこと。ここから、表現論の一般論を展開しているのです）

あんたが例示したものは、>>764の裏付けでしかないよね ；ｐ）

(参考)
https://www.math.nagoya-u.ac.jp/~yanagida/2020MP1.html
2020年度秋学期 数理科学展望I (柳田担当分)

講義ノートのpdf (ver. 2020.12.21)
https://www.math.nagoya-u.ac.jp/~yanagida/20W/2020MPI.pdf
内容
この講義では, 量子力学の話題を動機とした Lie群とLie環の表現論の入門的説明を行います.

P11 元素の周期律
原子を正確に記述しようとすると多体の量子力学系を考えなければならないが,
ここでは第一近似として一つの電子に注目し,
原子核と自分自身の電子達がつくる球対称のポテンシャルの中で運動している状況を考えよう
(このような近似の仕方を中心力場の近似という).
すると注目している電子の運動は,
スピンの自由度を除くと,
水素原子型Schr¨odinger方程式で記述できる.
ここでスピンについて簡単に説明しよう.
電子は空間の自由度だけでは記述できない内部自由度を持ってい
ることが(実は周期表の構造から逆説的にも)
知られていて, mS := ±1/2の二つの値を持つ.

P12
さて,原子の基底状態,
つまりエネルギーが最低の状態では,
電子は低いエネルギー状態から順番に電子殻を埋めていく(構造原理).
前副節の結果だとエネルギーはnの値のみに依存しているが,
それは中心力場の近似で考えていることによるもので,
実際には遮蔽の効果(他の電子の分布の影響)によってlの値にも依存する.
その為4s状態のエネルギーは3d状態のエネルギーより小さくなり,
同様に5s状態のエネルギーは4d状態
のエネルギーより小さくなる.
エネルギーが小さい順に電子軌道を並べると以下のようになる.
　表略す
下段にn + lを記したが, n + lが小さい順に並んでいるのは経験則に過ぎず,
例外もある.

以上で周期表の説明の準備が整った.
周期表の左上から順番に原子を見ていき,各原子について原子番号分の数の電子を低いエネルギー準位の電子軌道に埋めていく.
原子番号が10以下の場合を考えると,
略
周期表のa行目を第a周期と呼ぶが,第a周期において“最も外に位置する”電子軌道,
つまり最後に埋まる電子軌道とその状態の数をまとめると表1.4.2のようになる.
また周期表の構造と“最も外に位置する”電子軌道の関係を図1.4.1に表した.

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1704672583/778

876: １３２人目の素数さん [] 2024/05/12(日) 16:37:04.00 ID:qeZkOp9E

>>865
イライラしている？
イライラマンを、もっとイラつかせる方法
おっと、1990年当時 梅村 浩先生は、熊本大学だったんだね

(参考)
https://kaken.nii.ac.jp/ja/grant/KAKENHI-PROJECT-02640065/
kaken
Galois理論の一般化とその解析学への応用 1990
研究代表者
梅村 浩  熊本大学, 理学部, 教授 (40022678)

キーワード 微分ガロア理論 / 代数微分方程式
研究概要
前世紀S,Lie以来懸案となっている微分方程式のGalois理論の確立が目標であった。Galois理論の一般化の問題と呼ぶ。
これは本質的に無限次元の理論である。有限次元性の条件のもとでの微分Galois理論は,前世紀末よりE.Picard等によって試みられ,E.Kolchimにより完成した。しかし彼の微分Galois理論は不都合な要素も含んでいる。特に彼は代数方程式の場合のGalois拡大の概念を,微分体の強正規拡大の概念によって一般化しようとする。残念なことに,これが実は一般化になっておらず両者は微妙に食い違う。このような奇妙な現象の生じる理由を追求し,これを除去することも我々は問題とした。
即ち微分体の,抽象体として有限生成な拡大がautomorphicであるという正しい定義をし次が成立するようにする:抽象体の有限次代数拡大がautomorphicである必要十分条件は,その拡大体がautomorphicであることである。これを統一の問題と呼ぶ。
これら2つの問題(一般化の問題と統一の問題)は別々に導入されたが,我々は2つの問題を同様の枠組の内で解決した。Kolchin理論はWeilの代数幾何学の言語の上に建設されている。統一性が失われるのは,ここに原因がある。
我々は関手的な手法により,つまりbase changeを使うことにより統一の問題を解決した。
一般化の問題は拡大体L/Kから出発して,初期条件についての微分を考えることにより,別の偏微分体L/Kを構成しこの無限小変形を使ってinfinitesimally automorphicの概念を導入することによって解決した。
我々の無限次元微分Galois理論には多くの応用があるものと期待される。

文献書誌 (6件)
[文献書誌] Hiroshi Umemura: "Second proof of the irreducibility of the first differential equation of Painleve^^´" Nagoya Math.J.117. 125-171 (1990)
[文献書誌] Hiroshi Umemura: "Birational automorphism groups and differential equations" Nagoya Math.J.119. 1-80 (1990)
[文献書誌] Yoshishige Haraoka: "Numler Theoretic study of Pochhammer equation 発表予定" Pub.Math.de L' Universite^^´ Pierre et Marie Curie. 91. (1990)
[文献書誌] Yukimasa Oka: "A note on ergodic states on C^*ーdynamics" Kumamoto J.Math.4. 1-4 (1991)
[文献書誌] Yoshinobu Kamishima: "Conformal automorphisms and anformally flat manit olds 発表予定" Trans.Amer.Math.Soc.
[文献書誌] Mitsuhiko Kohno: "Reduction problems in the theory of Differential equations" Proc.international symp.on Symbolic and Algebraie computation. 244-249 (1990)

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1704672583/876

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