[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ3 (1002ﾚｽ)

ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ3 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1680684665/

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82: １３２人目の素数さん [] 2023/04/10(月) 21:51:40.08 ID:CYH9Manj >>46 補足 >>正則行列の特徴づけ「一次方程式 Ax = 0 は自明な解しかもたない[7]」 >分かり易い証明があったので下記貼る (引用開始) 逆に，式(1)は自明な解しかもたないとき， x＝(x1,・・・,xn)，Aの列ベクトルをa1,・・・,an とおくと， Σi=1～n xiai＝0 を満たす実数x1,・・・,xn はすべて0になります。すなわち，a1,・・・,an は一次独立になります。ここで，行列の階数はA の列ベクトルのうち一次独立な列ベクトルの最大個数ですので， rank A＝n となります。 正則と六つの同等な条件より， rank A＝nと行列A が正則であることは同等 (引用終り) ・正直、浮かばなかった 　正則行列の特徴づけ「一次方程式 Ax = 0 は自明な解しかもたない[7]」 　　↓ 　Σi=1～n xiai＝0 　を満たす実数x1,・・・,xn 　はすべて0 　　↓ 　a1,・・・,an 　は一次独立 　　↓ 　rank A＝n 　　↓ 　rank A＝nと行列A 　が正則であることは同値 ・「一次方程式 Ax = 0 は自明な解しかもたない[7]」 　　↓↑ 　Aの行ベクトル 　a1,・・・,an 　は一次独立 ・言われて気づく、アホなおれｗ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1680684665/82

83: １３２人目の素数さん [] 2023/04/10(月) 23:24:01.22 ID:CYH9Manj >>82 補足 wikipediaの 線型独立、Linear independenceに行列式書いてあるね ”An alternative method relies on the fact that n vectors in {R} ^{n} are linearly independent if and only if the determinant of the matrix formed by taking the vectors as its columns is non-zero.” か・・ 言われてみればなるほどです https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E7%8B%AC%E7%AB%8B 線型独立 n 本のベクトルが線型独立（英: linearly independent）または一次独立であるとは、それらのベクトルが張る空間が n 次元部分線形空間になることである。 具体的には、n 本のベクトル v1, …, vn が線型独立であるとは、 c_{1},・・・,c_{n} をスカラーとして、 Σ {i=1}^{n} c_{i}{v}}_{i} ＝ → c_{1}＝・・・＝c_{n}＝0 が成り立つことである（#定義）。 線型独立でないことを線型従属（一次従属）という。 行列式による別法 別の方法は {R} ^{n} の n 個のベクトルが線型独立であることとベクトルをその列として取ることによって形成される行列の行列式が 0 でないことは同値であるという事実を用いる。 https://en.wikipedia.org/wiki/Linear_independence Linear independence Evaluating linear independence Alternative method using determinants An alternative method relies on the fact that n vectors in {R} ^{n} are linearly independent if and only if the determinant of the matrix formed by taking the vectors as its columns is non-zero. http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1680684665/83

84: １３２人目の素数さん [sage] 2023/04/11(火) 06:50:41.70 ID:IUZyq1SL >>82 まだ、地に足がつかない空中戦してるのか 大学に入れんかった高卒の１は > ・正直、浮かばなかった > 　正則行列の特徴づけ >　「一次方程式 Ax = 0 は自明な解しかもたない」 > 　　↓ > 　Σi=1~n xiai＝0　を満たす実数x1,・・・,xnはすべて0 > 　　↓ > 　a1,・・・,anは一次独立 > 　　↓ > 　rank A＝n > 　　↓ > 　rank A＝nと行列Aが正則であることは同値 rank n→一次方程式 Ax = 0 は自明な解しかもたない を示さないと rank A＝nと行列Aが正則であることは同値 とはいえないよ > ・「一次方程式 Ax = 0 は自明な解しかもたない[7]」 > 　　↓↑ > 　Aの行ベクトル 　a1,・・・,anは一次独立 > > ・言われて気づく、アホなおれｗ 大学受からん高卒だからしゃあないよ 阪大？入れるわけないだろ？ そんなんじゃ神戸大はおろか 滋賀大、和歌山大でも無理 さて問題 「任意の行列Aに対してそのrankを正確に求める手続きを示せ」 線形代数の基本　これ知らん奴が工学部いったらダメ ものづくりもできんよ　そんな無能は http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1680684665/84

98: １３２人目の素数さん [] 2023/04/11(火) 18:29:24.98 ID:ElfHTzCH 前スレ https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1677671318/760より http://izumi-math.jp/K_Oguri/insi/insi.htm 行列における零因子の構造 北　数　教 第４２回 数学教育実践研究会 平成1４年８月3日(土) 北海道小樽桜陽高等学校 北海道石狩南高等学校 数学科教諭 小栗 是徳 ３．零因子とCaylay-Hamiltonの方程式 正方行列に限ると，零因子の存在とその構成は，Caylay-Hamiltonの方程式(以下，ＣＨＥと略称)から明快である。 以下，Ａ＝（ａij）：ｎ次正方行列とする。 　まず，『Ａが零因子⇒detＡ＝０』は背理法によって成立。 この逆が成立することを，ＣＨＥから証明すると共に，Ａに対してDef８のＢを具体的には構成する。 固有値については既知とし，Ａの固有方程式をｆA(ｘ)＝０，ＣＨＥをｆA(Ａ)＝Ｏとする。 (引用終り) これはこれで良いと思うが 　>>82に示したように 「一次方程式 Ax = Ｏ は自明な解しかもたない[7]」（ここにＯは零行列） を使って 正方行列Aの行ベクトルに対して、 一次従属 つまり Ax = Ｏの非自明な解の存在から Rank A ＜＝n-1 がすぐ出る よって Rank A＝ｎ ←→ Aは正則 Rank A＜＝n-1 ←→ Aは非正則 となる そして、 Ax = Ｏの非自明な列x を零行列Ｏに埋め込んで (0・・,x,0・・・)=Ｘなる正方行列を構成すれば 明らかに行列Ｘ≠Ｏで、AＸ = Ｏ が構成できて、Aは零因子が出る AＸ = Ｏのとき、背理法でAには(左)逆元が存在しないことは、上記の通り（正則行列では、左右の逆行列は一致） 行列が高校数学で復活したらしいから、こんな別証明も教えて良いだろう http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1680684665/98

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