[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ3 (1002ﾚｽ)

ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ3 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1680684665/

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6: １３２人目の素数さん [] 2023/04/05(水) 18:33:49.30 ID:joMjBMfa さて、前スレが終わってしまったが 前スレからの続きに戻る >>https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1677671318/890 逆元-逆行列を調べると ”体 K に成分を持つ正方行列 M が可逆であるのはその行列式が 0 以外であるときであり、かつそのときに限る。M の行列式が 0 ならば M は（左または右逆元のうち一方が存在すれば、それは他方の存在を導くから）片側逆元を持つことも不可能である（詳細は正則行列を参照）” とあります また、環の零因子 ja.wikipediaによれば、 ”環の零因子でない元は正則である（regular）または非零因子（non-zero-divisor）と呼ばれる。0でない零因子は0でない零因子（nonzero zero divisor）または非自明な零因子（nontrivial zero divisor）と呼ばれる。” です なお、体 K に成分を持つ正方行列では、 ”正方行列 M が可逆であるのはその行列式が 0 以外であるときであり、かつそのときに限る。M の行列式が 0 ならば M は（左または右逆元のうち一方が存在すれば、それは他方の存在を導くから）片側逆元を持つことも不可能である” です 実際、下記の如く正方行列のA、Xで「AX=Ｏ となる x≠ Ｏ が存在する」とき もし、Aが逆行列A^-1 を持てば 左辺に A^-1を掛けて、A^-1・AX＝Ｅ・X＝X ここにＥは単位行列 右辺は、A^-1・Ｏ＝Ｏ つまり、X＝Ｏとなる 背理法により、”Aは逆行列A^-1 を持たない” つまり、体 K に成分を持つ正方行列で、零因子の条件から、直ちに”Aは逆行列 を持たない”が導かれるのです これは、常識として覚えておくのが良いでしょうね 逆元を持たない非正則行列 　↓↑ 零因子の行列 という同値関係は、当然知っておくべきと思うよ （参考） https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%80%86%E5%85%83 逆元 厳密な定義 単位的マグマの場合 このとき、b は左可逆、aは右可逆であるという。M の元 x に対して、M の元 y で x の左逆元かつ右逆元であるようなものが存在するとき、 両側逆元 (two-sided inverse) あるいは単に逆元 (inverse) であるといい、x は M において可逆であるという。このとき、y も可逆であり、x は y の逆元になる。 つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1680684665/6

7: １３２人目の素数さん [] 2023/04/05(水) 18:34:19.28 ID:joMjBMfa >>6 つづき 逆行列・擬逆行列 体 K に成分を持つ正方行列 M が可逆であるのはその行列式が 0 以外であるときであり、かつそのときに限る。M の行列式が 0 ならば M は（左または右逆元のうち一方が存在すれば、それは他方の存在を導くから）片側逆元を持つことも不可能である（詳細は正則行列を参照）。もっと一般に、可換環 R 上の正方行列が可逆であるための必要十分条件は、その行列式が R の可逆元であることである。 階数落ちしていない (full-rank) 非正方行列は片側逆元を持つ[2]。 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%A3%E5%89%87%E8%A1%8C%E5%88%97 正則行列 正則行列（英: regular matrix）、非特異行列（英: non-singular matrix）あるいは可逆行列（英: invertible matrix）とは、行列の通常の積に関する逆元を持つ正方行列のことである。この逆元を、元の正方行列の逆行列という。 定義 n 次単位行列を En や E で表す。 環の元を成分にもつ n 次正方行列 A に対して、 AB=E=BA を満たす n 次正方行列 B が存在するとき、A は n 次正則行列、あるいは単に正則であるという[1]。A が正則ならば上の性質を満たす B は一意に定まる。 これを A の逆行列（ぎゃくぎょうれつ、英: inverse matrix）と呼び、A?1 と表す[2]。 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9B%B6%E5%9B%A0%E5%AD%90 環の零因子（英: zero divisor）とは、環の乗法において、 零以外の元と掛けたのに零となるような積が、少なくとも一つ存在する ような元のことである。 これは環の乗法における因子の特別な場合である。 定義 環 R の元 a は、 ax=0 となる x≠ 0 が存在するとき、すなわち ∃x∈R＼{0}:ax=0 を満たすときに 左零因子（英: left zero divisor）と呼ばれる。 同様に、環の元 a が右零因子とは、ある y ≠ 0 が存在して ya=0 となることである。 左または右零因子である元は単に零因子と呼ばれる[2]。左かつ右零因子である元 a は両側零因子（two-sided zero divisor）と呼ばれる 環の零因子でない元は正則である（regular）または非零因子（non-zero-divisor）と呼ばれる。0でない零因子は0でない零因子（nonzero zero divisor）または非自明な零因子（nontrivial zero divisor）と呼ばれる。 (引用終り) 以上 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1680684665/7

9: １３２人目の素数さん [] 2023/04/05(水) 21:06:20.43 ID:Lto72acu >>6 追加 結合則が成り立つ場合 左反転と右反転は、一致します（下記） 証明は 「l=l*(x*r)=(l*x)*r=r」です 覚えておきましょう！ (参考) https://en.wikipedia.org/wiki/Inverse_element Inverse element Inverses An element is invertible under an operation if it has a left inverse and a right inverse. In the common case where the operation is associative, the left and right inverse of an element are equal and unique. Indeed, if l and r are respectively a left inverse and a right inverse of x, then 　l=l*(x*r)=(l*x)*r=r. The inverse of an invertible element is its unique left or right inverse. （google訳） 要素に左反転と右反転がある場合、要素は操作の下で反転可能です。 操作が結合的である一般的なケースでは、要素の左と右の反転は等しく、一意です。 実際、l と r がそれぞれ x の左逆と右逆である場合、 l=l*(x*r)=(l*x)*r=r. 可逆要素の逆は、その唯一の左または右の逆です。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1680684665/9

24: １３２人目の素数さん [] 2023/04/08(土) 10:47:05.35 ID:bSMWtlup >>6 訂正 実際、下記の如く正方行列のA、Xで「AX=Ｏ となる x≠ Ｏ が存在する」とき 　　↓ 実際、下記の如く正方行列のA、Xで「AX=Ｏ となる X≠ Ｏ が存在する」とき あと追加 https://www2.sci.hokudai.ac.jp/dept/math/undergraduate/curriculum/kakushin 核心解説（線形代数学Ⅰ） 北大 線形代数学Ⅰの解説資料を掲載します。皆さんの学修にお役立てください。 vol.1　行列の基本変形のやり方 vol.2　基本変形の仕組み vol.3　連立一次方程式の解法 vol.4　逆行列の求め方 vol.5　行列式の求め方 https://www2.sci.北大 vol.5　行列式の求め方 5.3 補足：行列式の幾何学的な意味 ここでは, より深い行列式の理解のために, 「行列式の幾何学的な意味」を紹介します. 略 このとき, この平行 2n 面体 Δ(A) と行列式には次の関係があります. 定理 5.3.1. Δ(A) の体積 = |det A| が成り立つ. ここで, 右辺は, 「行列 A の行列式の絶対値」を意味します. 「行列式の 記号」と「絶対値の記号」が混同しないように気を付けてください. 以下, このことを n = 2 と n = 3 の場合に具体的に調べてみましょう. http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1680684665/24

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