ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ3

[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ3 (1002ﾚｽ)
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371: １３２人目の素数さん [] 2023/04/26(水) 10:31:03.04 ID:1lxhsqWW

>>370
ではこれではどうでしょう
群論や体論を学習する以前の学部生向けに書いたものの一部ですが

クロネッカーはf(X)の根$\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_m$の置換
$$\alpha_k \longrightarrow \alpha_{\sigma(k)}\;\;\;\;\;(\{1,2,\dots,m\}
=\{\sigma(1),\sigma(2),\dots,\sigma(m)\})$$の、
アーベルによって発見された条件に目を付けました。それは、
$\mathbb{Q}(\alpha_1)=\mathbb{Q}(\alpha_2)=\cdots=
\mathbb{Q}(\alpha_m)$ であり
$\alpha_1\mapsto \alpha_{\sigma(1)}$によって引き起こされる対応
\begin{equation}\mathbb{Q}(\alpha_1)\ni\sum_{k=0}^{m-1}
{b_k\alpha_1^k}\mapsto
\sum_{k=0}^{m-1}{b_k\alpha_{\sigma(1)}^k}\in\mathbb{Q}
(\alpha_{\sigma(1)})=\mathbb{Q}(\alpha_1) \;\;(b_k\in\mathbb{Q})
\end{equation}が、対応
\begin{equation}\tilde{\sigma}:
\sum_{k=1}^m{c_k\alpha_k}\mapsto\sum_{k=1}^m
{c_k\alpha_{\sigma(k)}}\;\;(c_k\in\mathbb{Q})）\end{equation}
と一致するような$\sigma$の集合を$G_\alpha$としたとき、
写像の合成$(f\circ g)(x):=f(g(x))$に関する$G_\alpha$内の
演算の可換性すなわち$$\tilde{\sigma}, \tilde{\tau}\in G_\alpha
\Rightarrow\tilde{\sigma}\circ\tilde{\tau}=\tilde{\tau}\circ\tilde{\sigma}
$$が成立するというものです。
この条件がみたされるとき、$\mathbb{Q}(\alpha)$は$\mathbb{Q}$の
アーベル拡大であると言います。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1680684665/371

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