[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ3 (1002ﾚｽ)

ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ3 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1680684665/

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347: １３２人目の素数さん [] 2023/04/25(火) 17:08:52.88 ID:o6Fjvluy >>340について すでに、>>341と>>343に評がありますが 多様体の英語が、下記 History of manifolds and varieties にある通りなのですが ”In English, "manifold" refers to spaces with a differentiable or topological structure, while "variety" refers to spaces with an algebraic structure, as in algebraic varieties.” は、もし学生向けなら、注釈程度の説明があっても良いかも 3次元→3次元の多様体 として、平仄を合わせるのいいかと いくつかの多面体に分割できる図形→位相多様体として、下記の”（オイラーの多面体定理）”のようなイメージと思いますが ドーナツの表面とか曲面の話が、突然多面体という平面で囲まれた図形になって、飛躍がありそう （多面体は、曲率0の平面のみを使いますから） あと、3次元ポアンカレ予想の話で、うろ覚えですが、特異点の存在などを除く話ですよね さらに、幾何化予想の8つの幾何学モデル全部に当てはまった？ 不勉強で確認できませんでしたが （多分多様体の局所的にユークリッド空間に同相で無限個の多面体を許せば良いように思いますが） あまり細かく書くと わけわからないし、おおざっぱすぎると また問題ですかね 関数や関数の組、ポアンカレは、の部分は「後述」として、伏線にすれば 辻褄はあうでしょう （参考） https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%9A%E6%A7%98%E4%BD%93 多様体（英: manifold, 独: Mannigfaltigkeit）とは、解析学（微分積分学、複素解析）を展開するために必要な構造を備えた空間のことである（ただし位相多様体は出来ない。ただ、単に多様体と言った場合、可微分多様体か複素多様体のことを指す場合が多い）。それは局所的にユークリッド空間と見なせるような図形や空間（位相空間）として定義される。多様体上には好きなところに局所的に座標を描き込むことができる。 https://en.wikipedia.org/wiki/Manifold Manifold つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1680684665/347

348: １３２人目の素数さん [] 2023/04/25(火) 17:09:19.17 ID:o6Fjvluy >>347 つづき https://en.wikipedia.org/wiki/History_of_manifolds_and_varieties History of manifolds and varieties Nomenclature The term "manifold" comes from German Mannigfaltigkeit, by Bernhard Riemann. In English, "manifold" refers to spaces with a differentiable or topological structure, while "variety" refers to spaces with an algebraic structure, as in algebraic varieties. In Romance languages, manifold is translated as "variety" ? such spaces with a differentiable structure are literally translated as "analytic varieties", while spaces with an algebraic structure are called "algebraic varieties". Thus for example, the French word "variete topologique" means topological manifold. In the same vein, the Japanese word "多様体" (tay?tai) also encompasses both manifold and variety. ("多様" (tay?) means various.) Background Lagrangian mechanics and Hamiltonian mechanics, when considered geometrically, are naturally manifold theories. All these use the notion of several characteristic axes or dimensions (known as generalized coordinates in the latter two cases), but these dimensions do not lie along the physical dimensions of width, height, and breadth. In the early 19th century the theory of elliptic functions succeeded in giving a basis for the theory of elliptic integrals, and this left open an obvious avenue of research. The standard forms for elliptic integrals involved the square roots of cubic and quartic polynomials. When those were replaced by polynomials of higher degree, say quintics, what would happen? つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1680684665/348

353: １３２人目の素数さん [] 2023/04/25(火) 21:06:27.78 ID:T/Ps2Q8E >>347 > 3次元ポアンカレ予想の話で、うろ覚えですが、特異点の存在などを除く話ですよね 思い出した ”葉巻型特異点は実は存在しない”か https://blog.goo.ne.jp/lemonwater2017/e/e7c811ec5bfdddf1e4b71414d6b4c86f ポアンカレ予想の奇悲劇､その４?ハミルトンの挫折と葉巻型特異点の大きな壁 象が転んだ 20201222 https://blog.goo.ne.jp/lemonwater2017/e/52b183e0d1802fbe64e860e5d770f7df ポアンカレ予想の奇悲劇､その５?ペレルマンの偉業と異次元の発想 象が転んだ 20201229 ペレルマンがポアンカレ予想を証明する為に､特別な2つの道具を用意したんです。それこそが放物型リスケーリングと統計物理学で使うエントロピー(計量)でした。 ポアンカレ予想は､”弱いサーストンの仮定”とも言えますから､ペレルマンがサーストンの予想を回避したのは正解だったんです。 言い換えれば､ペレルマンはサーストンの野心の背後に回り､”葉巻型特異点は実は存在しない”との大胆な仮定をし､それを見事に証明した。 そして､他の特異点も有限時間内に消滅できる事も証明しました。つまり､ペレルマンの大胆な予想と奇抜なアイデアが生んだ偉業とも言えます。 事実､ペレルマンが友人に送った最初のメールでは”サーストン予想を証明した”と書いてました。そしてその後の論文で､そのサーストンの野心をギリギリの所で回避した。 これはリーマンの素数公式がリーマン予想を回避しても導出できたり､弱いリーマン予想から素数定理が証明されたのとよく似てます。 歴史は繰り返すといいますが､難題に奇悲劇というのは常に憑いて回るんですね。 葉巻型特異点を駆逐する2つの道具 そこで残るのは､葉巻型だ。 この葉巻型特異点はハミルトンの手術で取り除く事が出来なかった。が故に､もしこれらの特異点が出来てしまえば､彼のプログラムでは頓挫する事をペレルマンも十分に了解していた。 ペレルマンは､その様な特異点が生じない事を強く願った。医学では信頼と希望が何かの役に立つが､数学では証明が必要なのだ。 そこで彼は何と､そんな葉巻型特異点が出現しない事を証明した。 ペレルマンは､特別な2つの道具を使った。”放物型リスケーリング”と統計物理学で使う”エントロピー(計量)”である。流石に､この2つの道具は一流のトポロジストでも理解できなかった。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1680684665/353

359: １３２人目の素数さん [] 2023/04/25(火) 23:48:27.03 ID:T/Ps2Q8E >>347 戻る >いくつかの多面体に分割できる図形→位相多様体として、下記の”（オイラーの多面体定理）”のようなイメージと思いますが >ドーナツの表面とか曲面の話が、突然多面体という平面で囲まれた図形になって、飛躍がありそう >（多面体は、曲率0の平面のみを使いますから） ちょっと思い出してきたけど これ、位相幾何学の単体分割の話でしたね だから、微分可能性を考えない位相幾何学で、多面体に分割できる図形の話ですね 一方、ドーナツの表面とか曲面は、"manifold"でdifferentiableの話で ここは、ちょっと話が飛躍した感がありましたね https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%98%E4%BD%93_(%E6%95%B0%E5%AD%A6) 単体 (数学) 位相幾何学において、n 次元の単体（たんたい、英: simplex）とは、「r ? n ならばどの r + 1 個の点も r ? 1 次元の超平面に同時に含まれることのない」ような n + 1 個の点からなる集合の凸包のことで、点・線分・三角形・四面体・五胞体といった基本的な図形の n 次元への一般化である。 単体は単体的複体や鎖複体などの概念を与えるが、これらはさらに抽象化されて、幾何学を組合せ論的あるいは代数的に扱う道具となる。また逆に、抽象化された複体の概念から単体が定義される。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1680684665/359

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