[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ3 (1002ﾚｽ)
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500: 2023/04/28(金)09:59 ID:ttlBhqNj(1/23) AAS
>>499
図星です
501: 2023/04/28(金)10:02 ID:ttlBhqNj(2/23) AAS
>>498
蔵の中で書いていたのは江戸川乱歩だったのでは？
確かにガウスの家の前の屋根裏部屋は
蔵の中に似ていなくもなかったが
502(2): 2023/04/28(金)10:12 ID:ttlBhqNj(3/23) AAS
>>487
卓球のラリーでも見ているような気分になったのでは？
503: 2023/04/28(金)10:24 ID:ttlBhqNj(4/23) AAS
ちょっと一服して
高木先生の名言を味わっておきましょう。
高木先生にとって整数論が何であったかは、
名著『初等整数論講義』の序文の中の次の文章が十二分に語っています。\\
整数論の方法は繊細である、小心である、
その理想は玲瓏にして些の陰翳をも留めざる所にある。
代数学でも、函数論でも、叉は幾何学でも、
省2
514: 2023/04/28(金)12:09 ID:ttlBhqNj(5/23) AAS
>>506
数論マニアは幾何学にも関心を持っています。
ガウスの不満
ヒルベルトが 1900 年にパリの ICM で提出した 23 の問題のうち、第 9 問題と第
12 問題は、ガウスによる 2 次形式の分類や円周の等分に端を発するスケールの大
きい問題で、高木・アルティンの相互律へとつながりました。これは数の体系の
拡大に伴ったものでしたが、ヒルベルトの問題のうちには多面体の分割に関する
省6
515: 2023/04/28(金)12:12 ID:ttlBhqNj(6/23) AAS
これは「三角柱は (体積の) 等しい三つの
角錐に分けられる」という定理の系として書かれています。証明にはその前の
同じ高さをもち三角形を底面とする角錐は互いに底面に比例する
が必要で、その証明は「取り尽くし法」によっています1。
517: 2023/04/28(金)12:19 ID:ttlBhqNj(7/23) AAS
取り尽くし法はアルキメデスが放物線の切片の面積を求めた方法としても有名
ですが 、要は微積分法の走りであり、求めたい数値を上下からうまく近似
して「はさみうちの原理」で求める方法です。三角錐の場合、原論では二つの角柱と
二つの三角錐への分割が用いられ、角柱部分が角錐部分以上であ
ることをふまえて取り尽くし法が適用されます。
図形の分割が体積の公式を導く手段として有効であることは、洋の東西を問わ
ず古くから知られており、中国の「九章算術」にも、角錐の形を限ってではあり
省13
519(1): 2023/04/28(金)12:25 ID:ttlBhqNj(8/23) AAS
>>516
>>自分の学位論文についてすら語れないなんて
学位論文はガウスの家の向かいの屋根裏部屋でタイプしましたが
査読が完了したときには日本にいたので
学位記は日本で受け取りました。
ドイツの奨学金を「学位みなし」でもらっていたので
学位論文はその財団にも提出しました。
省2
520(1): 2023/04/28(金)12:32 ID:ttlBhqNj(9/23) AAS
さて、平面図形の場合、たとえば三角形の面積が「底辺 × 高さ ÷2」であること
は、互いに合同な二つの三角形をつなげて平行四辺形が作れることからもわかり
ます。面積が体積に比べて易しいのは当然としても、次の定理にはちょっとした爽
快感があります。
ウォレス·ボヤイ·ゲルヴィンの定理. 面積の等しい二つの多角形A, B
に対し、A を有限個の線分に沿って分割して組みなおすことで、B と合同な図形
を作ることができる。
省3
521(2): 2023/04/28(金)12:40 ID:ttlBhqNj(10/23) AAS
>>513
>>２）ワイルズさんの証明とその後のテイラー氏の谷山-志村の話は
>> 不勉強で片付けずにｗ
>> ぜひ勉強して追加で書いてくださいよ。
>> あれ、面白いから
加藤・黒川・斎藤を読んで面白かったのなら
それで十分ではないでしょうか。
省1
522(1): 2023/04/28(金)12:43 ID:ttlBhqNj(11/23) AAS
ガウスの親しい弟子であったゲーリングは、ガウスへの手紙で任意の多面体は
その鏡映像と分割合同であることを注意しました。これはガウスから
「合同でない二つの立体の等積性が、対称性の高い場合でさえ取り尽くし法を使わないと示
せないことは残念だ」とコメントされたことへの返事でした。ゲーリングの答え
に喜んだガウスはすぐ返事をし、結果がさらに改良できるであろうことを示唆し
ています。しかしガウスはすでに 67 歳であり、「目下のところこのテーマをさらに
追求する閑暇を持たない」と書いたきり、この話題には戻らなかったようです。
523(1): 2023/04/28(金)12:47 ID:ttlBhqNj(12/23) AAS
ヒルベルトの第 3 問題とデーン不変量
二つの多面体が等積でありさえすれば分割合同になるとは考えにくいので、そ
うならないことの証明が試みられました。1896 年、ブリカール12は等積な立方体
と正四面体が分割合同でないことを主張する論文 [Br] を発表しましたが、証明は
不完全でした。そこで当時の指導的な数学者であったヒルベルトもこれに関心を
示し、1900 年の ICM で
等高等底面積の二つの四面体で、互いに分割合同でないものがあるか
省7
524(1): 2023/04/28(金)12:59 ID:ttlBhqNj(13/23) AAS
そのためには S に
適当な演算規則を入れておき、多面体の分割が D によってその規則と「両立する」
ようにします。その要点をかいつまんで述べてみましょう。
集合 S は二つの「加法群」の「テンソル積」として作ります。まず加法群につい
て、これは前回アーベル拡大のところで述べたアーベル群のことですが、文脈や記
号が違うので念のため復習しておきます。これは一つの集合Gに、結合律と交換律
を満たす二項演算「G×G (a, b) → a+b ∈ G」が、単位元0 (すべてのa ∈ Gに対
省22
525(1): 2023/04/28(金)13:10 ID:ttlBhqNj(14/23) AAS
さて、上の S としてデーンが採用したのは R⊗_Z (R/πZ) です。ただし π は円周率
で、πZ = {πk; k ∈ Z} とおきます。多面体P に対する D(P) の値としては、P の辺
L_i(i = 1, 2, . . . , r)の長さを|L_i|で表し、L_i で接する二面のなす角をθ_i(0 < θ_i < 2π)
として
D(P) = ?^r_{i=1}|Li| ⊗ (θ_i + πZ)
とおきます。これはこんにち P のデーン不変量と呼ばれています。
デーン不変量が P の分割の仕方によらないことは
省3
529(1): 2023/04/28(金)13:59 ID:ttlBhqNj(15/23) AAS
>>528
IUTやABCはNスぺレベルしか知らないので
コメントできません
530(1): 2023/04/28(金)14:20 ID:ttlBhqNj(16/23) AAS
>>526
デーン不変量がお気に召したようなので一応続きも
P が立方体ならば θ_i はすべて π/2 ですから、D(P) は a ⊗π/2 の形になりますが、
R ⊗Z (R/πZ) 内では
a ⊗π/2=(a/2+a/2)⊗π/2=a/2⊗π/2+a/2⊗π/2=a/2⊗(π/2+π/2)
=a/2⊗ π = 0
という式変形により D(P) = 0 が導けます。
省16
532(1): 2023/04/28(金)14:53 ID:ttlBhqNj(17/23) AAS
３次元トポロジーへのデーンの貢献は偉大ですが
デーン不変量を使ってなされたものは知りません。
デーン不変量の話のオチは一応次のようにつけました。
デーンのこの解答は見事と言うしかありませんが、
ここには「等積なP,Qに対しD(P)=D(Q)ならPとQは分割合同であろうか」
という新たな問題が潜んでいました。これは難問で、
デーンの存命中には解決されず、やっと1965年になって答えが
省20
533(2): 2023/04/28(金)15:10 ID:ttlBhqNj(18/23) AAS
こういうところで原稿をさらすのは
どこか駅ピアノを演奏するのに似ていますね
536: 2023/04/28(金)16:42 ID:ttlBhqNj(19/23) AAS
本間 龍雄（ほんま たつお、1926年1月 - 2021年11月15日）は、日本の数学者。
理学博士。専門は位相幾何。横浜市立大学教授、東京工業大学教授、
青山学院大学教授等を歴任。
略歴
東京工業大学で皆川多喜造に数学を学び、1948年卒業。
1953年湯川フェローシップにより大阪大学で研究。
1957年デーンの補題をパパキリアコプロスとは独立に証明した（パパキリアコプロスは、
省5
537: 2023/04/28(金)16:48 ID:ttlBhqNj(20/23) AAS
>>535
今年中に、これのレジュメみたいのが
ある雑誌に載る予定
538: 2023/04/28(金)16:50 ID:ttlBhqNj(21/23) AAS
全文もいずれどこか別のところに
539: 2023/04/28(金)17:28 ID:ttlBhqNj(22/23) AAS
>>535
>>なんか宣伝に使われたみたいだな
「支離滅裂」と言われないようなレベルのものが
出せたということだろうね。
541(3): 2023/04/28(金)19:05 ID:ttlBhqNj(23/23) AAS
もう誰も何も言わないので
何かがABCとIUTで盛り上がるまで
長い時間がかかりそう
富士山の噴火の方が先かもしれない
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