[過去ﾛｸﾞ] スレタイ 箱入り無数目を語る部屋4 (1002ﾚｽ)
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400(1): 2022/10/31(月)22:47 ID:V6kL7bYX(27/47) AAS
定理：任意の A⊂[0,1)^N に対して、μ_N^*([0,1)A)＝μ_N^*(A) かつ
μ_{N*}([0,1)A)＝μ_{N*}(A) である。
証明：A⊂[0,1)^N を任意に取る。μ_N^*([0,1)A)＝μ_N^*(A) を示す。
A⊂B∈F_N なる B を任意に取れば、[0,1)A ⊂ [0,1)B∈F_N なので、
μ_N^*([0,1)A) ≦ μ_N^*([0,1)B)＝μ_N([0,1)B)＝μ_N(B) である。
A⊂B∈F_N なる B は任意だったから、そのような B の inf を取れば、
μ_N^*([0,1)A)≦μ_N^*(A) となる。次に、[0,1)A ⊂ B ∈ F_N なる B を任意にとる。
省5
434: 2022/11/01(火)00:10 ID:sIOgpcGr(3/28) AAS
では、>>399は丸ごと削除し、そして>399の性質を使っている唯一の>>404を証明し直す。
そのやり方は、>>400 >>402と全く同じ方法でよかった。
A⊂[0,1)^N を任意に取る。μ_{N*}([0,1)A)＝μ_{N*}(A) を示したい。
A⊃B∈F_N なる B を任意に取れば、[0,1)A ⊃ [0,1)B∈F_N なので、
μ_{N*}([0,1)A) ≧ μ_{N*}([0,1)B)＝μ_N([0,1)B)＝μ_N(B) である。
A⊃B∈F_N なる B は任意だったから、そのような B の sup を取れば、
μ_{N*}([0,1)A)≧μ_N^*(A) となる。次に、[0,1)A ⊃ B ∈ F_N なる B を任意に取る。
省3
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