[過去ﾛｸﾞ] スレタイ 箱入り無数目を語る部屋4 (1002ﾚｽ)

スレタイ 箱入り無数目を語る部屋4 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/

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554: １３２人目の素数さん [sage] 2022/11/03(木) 09:18:21.99 ID:8HW9bynv >>526 次に524　２）の反例 定理２　各項が1>a_n>0を満たすとき 　　　　Π(n=1~∞)(1-a_n)＞０　⇔　Σ(n=1~∞)a_n＜∞ 証明　級数が発散する場合は Π(n=1~N)(1-a_n)　＜　exp(-Σ(n=1~N)a_n) であるから、部分積が0に収束することにより、無限乗積も０に「発散」する 級数が収束するときは、部分和が減少列であるから、下から押さえられることを示せばよい。 あるNが存在して a_n ＜ 1/2, n ≧ N となる。このとき次が成り立つ。 1/(1 + 2 a_n)≦ 1 − a_n, n ≧ N 級数が収束することから 2?(n=1~N)a_n=?(n=1~N)2a_n も収束し したがって ∏(n = 1~∞)(1 + 2 a_n) も収束する。 ゆえに部分積には下限∏(n = 1~∞)1/(1 + 2 a_n)があり、 （0より大きな値に）収束する。 ま、上記の証明をトレースしなくても、例えば a_nがみな正で、Σ(n=1~∞)a_nが有限なら 1>exp(-a_n)だが、その無限乗積exp(-Σ(n=1~∞)a_n)は有限値 はい、二回死んだ！ｗ　大学2年の微積分再履修も落第ね　🐎🦌 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/554

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