[過去ﾛｸﾞ] スレタイ 箱入り無数目を語る部屋4 (1002ﾚｽ)

スレタイ 箱入り無数目を語る部屋4 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/

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474: １３２人目の素数さん [] 2022/11/01(火) 18:59:08.91 ID:25yibjh9 >>473 つづき ４）ヴィタリ氏は上記を逆手にとって、[-1.+1]の範囲の有理数qを全て集めて、∪V+qを作る 　∪V+q を考えると、これは[-1,2]の範囲に収まる。一方で、∪V+q は上記の考察から、区間[0,1]の全ての実数を含む 　つまり[0.1]⊂∪V+q ５）いま、λ(S)を集合Sにルベーグ測度を与える関数とする（上記wikipedia通り） 　λ(∪V+q）＝Σλ(V） で (なお、Σは、[-1.+1]の有理数qを全て数え上げて（可算無限）和を取る) 　よって 1<=Σλ(V）<=3 （<=3は[-1,2]の範囲に収まることから、1<=は内部に区間[0,1]の全ての実数を含むことから従う） ６）これは、λ(V）に0、有限、∞のいかなる値を付与しても矛盾。よって、λ(V）にはいかなる値（測度）も与えることができず、非可測集合を成す ここで、重要ポイントが二つ １）全体集合Rにルベーグ可測が与えられていること ２）ルベーグ可測が平行移動に普遍で、ヴィタリ集合Vは非可算濃度で、Vの[-1.+1]の範囲の有理数qの平行移動で可算無限和Σλ(V）を作ること ここは押さえておきたいね なお、ソロベイの有名な可算理論モデルがあるが、上記ポイントの２）のどこかが成り立たないのでしょうね（詳しくないが） 以上 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/474

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