[過去ﾛｸﾞ] スレタイ 箱入り無数目を語る部屋4 (1002ﾚｽ)
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299: 2022/10/30(日)13:38 ID:6rtRwLi2(10/33) AAS
今回は確率空間しか使わないので、有限測度空間だけを対象にする。
一般に、有限測度空間 (X,F,ν) が与えられたとき、任意の A⊂X に対して

ν^*(A) ＝ inf{ ν(B)｜A⊂B∈F }

と定義すると、ν^*：pow(X) → [0,＋∞) は外測度になることが確かめられる。
この ν^* を、測度νから生成される外測度と言う。
A∈F のときは ν^*(A)＝ν(A) が成り立つことに注意せよ。
また、任意の A⊂X に対して 0≦ν^*(A)≦ν(X) (＜＋∞) が成り立つ。

さて、ν^* からカラテオドリの方法によって得られる完備測度空間を (X, M, ν^*) と置く。
一方で、(X,F,ν) の完備化を (X, F_1, ν_1) と書くことにする。
よって、2つの完備測度空間 (X, F_1, ν_1), (X, M, ν^*) が得られたことになるが、
実は F_1＝M かつ ν_1(B)＝ν^*(B) (B∈F_1) が成り立つことが確かめられる。
すなわち、(X, M, ν^*) は (X, F_1, ν_1) に一致する。

この意味において、ν^* は ν から生成される標準的な外測度である。

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