[過去ﾛｸﾞ] スレタイ 箱入り無数目を語る部屋4 (1002ﾚｽ)
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299: 2022/10/30(日)13:38 ID:6rtRwLi2(10/33) AA×


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299: [sage] 2022/10/30(日) 13:38:42.89 ID:6rtRwLi2 今回は確率空間しか使わないので、有限測度空間だけを対象にする。 一般に、有限測度空間 (X,F,ν) が与えられたとき、任意の A⊂X に対して ν^*(A) ＝ inf{ ν(B)｜A⊂B∈F } と定義すると、ν^*：pow(X) → [0,＋∞) は外測度になることが確かめられる。 この ν^* を、測度νから生成される外測度と言う。 A∈F のときは ν^*(A)＝ν(A) が成り立つことに注意せよ。 また、任意の A⊂X に対して 0≦ν^*(A)≦ν(X) (＜＋∞) が成り立つ。 さて、ν^* からカラテオドリの方法によって得られる完備測度空間を (X, M, ν^*) と置く。 一方で、(X,F,ν) の完備化を (X, F_1, ν_1) と書くことにする。 よって、2つの完備測度空間 (X, F_1, ν_1), (X, M, ν^*) が得られたことになるが、 実は F_1＝M かつ ν_1(B)＝ν^*(B) (B∈F_1) が成り立つことが確かめられる。 すなわち、(X, M, ν^*) は (X, F_1, ν_1) に一致する。 この意味において、ν^* は ν から生成される標準的な外測度である。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/299
今回は確率空間しか使わないので有限測度空間だけを対象にする 一般に有限測度空間 が与えられたとき任意の に対して と定義すると は外測度になることが確かめられる この を測度から生成される外測度と言う のときは が成り立つことに注意せよ また任意の に対して が成り立つ さて からカラテオドリの方法によって得られる完備測度空間を と置く 一方で の完備化を と書くことにする よってつの完備測度空間 が得られたことになるが 実は かつ が成り立つことが確かめられる すなわち は に一致する この意味において は から生成される標準的な外測度である

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