[過去ﾛｸﾞ] スレタイ 箱入り無数目を語る部屋3 (1002ﾚｽ)
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730(1): 2022/10/12(水)00:44 ID:TRiiI02m(5/14) AAS
ちなみに、スレ主は K[[x]] での極限を考えるのが好きらしいので、そのようなケースを考えてみよう。
まず、s,t ∈ K[[x]] が s〜t を満たさない場合を考察する。m≧0 に対して

t^{m} ：＝ Σ[k＝0〜m−1] t_k x^k＋(s_m＋1)x^m＋Σ[k＝m＋1〜∞] s_k x^k

と置けば、これは形式的ベキ級数であり、s 〜 t^{m} が成り立ち、(s, t^{m})に関するしっぽは「 m しっぽ 」である。
さて、t^{m} について、完備化されたK[[x]]の構造のもとで m→∞ の極限を考えると、
lim[m→∞] t^{m} ＝ t が成り立つことが確認できる。一方で、

(1) (s, t^{m})に関するしっぽは「 m しっぽ 」
省6

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734: 2022/10/12(水)01:02 ID:TRiiI02m(9/14) AAS
細かいことだが、添え字が若干ズレてたな。

>>728
× s＝Σ[k＝0〜∞] s_k x^k と表したとき、t ＝ (s_m＋1)x^m＋Σ[k＝m＋1〜∞] s_k x^k と置けばよい。
〇 s＝Σ[k＝0〜∞] s_k x^k と表したとき、t ＝ (s_{m−1}＋1)x^{m−1}＋Σ[k＝m〜∞] s_k x^k と置けばよい。

>>730
× t^{m} ：＝ Σ[k＝0〜m−1] t_k x^k＋(s_m＋1)x^m＋Σ[k＝m＋1〜∞] s_k x^k
〇 t^{m} ：＝ Σ[k＝0〜m−2] t_k x^k＋(s_{m−1}＋1)x^{m−1}＋Σ[k＝m〜∞] s_k x^k

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