[過去ﾛｸﾞ] スレタイ 箱入り無数目を語る部屋3 (1002ﾚｽ)
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728(3): 2022/10/12(水)00:39 ID:TRiiI02m(3/14) AAS
補題1
s,t∈K[[x]] は s〜t を満たすとする。さらに、(s,t)に関するしっぽは「 n しっぽ」かつ「 m しっぽ」だとする。
このとき、n＝m である。すなわち、「 n しっぽ 」の n は (s,t)に関して一意的である。
補題2
(1) s,t∈K[[x]] について、 s〜t が成り立つことと、s−t が多項式であることは同値である。
(2) s,t∈K[[x]] は、s−t が 0 でない多項式とする。その次数を d と置くとき、(s,t)に関するしっぽは「(d＋1)しっぽ」である。
(3) s,t∈K[[x]] は、s−t が 0 という多項式だとする。このとき、(s,t)に関するしっぽは「 0 しっぽ」である。
省4
729: 2022/10/12(水)00:41 ID:TRiiI02m(4/14) AAS
さて、ここからが本題。スレ主は「しっぽを無限小にできる」と言っている。
これが本来の意味での無限小なら、スレ主は次のように主張していることになる。
・ ある s,t∈K[[x]] とある無限大超自然数 n* が存在して、(s,t)に関するしっぽは「 n* しっぽ 」である。
しかし、「 n しっぽ 」の n は必ず正整数なので、これはあり得ない。従って、スレ主が言うところの「無限小」は
単なるレトリックであり、「望むだけ小さくできる」という意味に過ぎない(エセ無限小)。となれば、スレ主は実際には
補題3(>>728)
任意の s∈K[[x]] と任意の(大きな) m≧0 に対して、ある t∈K[[x]] が存在して、(s,t)に関するしっぽは「 m しっぽ 」である。
省5
733: 2022/10/12(水)00:50 ID:TRiiI02m(8/14) AAS
あるいは、スレ主は
「極限を取っているのではない。m はいくらでも大きくできると言っているだけだ」
と反論するかもしれない。この場合、スレ主が言っていることは
補題3(>>728)
任意の s∈K[[x]] と任意の(大きな) m≧0 に対して、ある t∈K[[x]] が存在して、(s,t)に関するしっぽは「 m しっぽ 」である。
ということに過ぎない。スレ主は、この補題3を "無限小" というレトリックで言い換えているだけ、ということになる。
では、上記の補題3の性質があると、時枝記事のどこが破綻するのか？いや、どこも破綻しない。
省4
734: 2022/10/12(水)01:02 ID:TRiiI02m(9/14) AAS
細かいことだが、添え字が若干ズレてたな。
>>728
× s＝Σ[k＝0〜∞] s_k x^k と表したとき、t ＝ (s_m＋1)x^m＋Σ[k＝m＋1〜∞] s_k x^k と置けばよい。
〇 s＝Σ[k＝0〜∞] s_k x^k と表したとき、t ＝ (s_{m−1}＋1)x^{m−1}＋Σ[k＝m〜∞] s_k x^k と置けばよい。
>>730
× t^{m} ：＝ Σ[k＝0〜m−1] t_k x^k＋(s_m＋1)x^m＋Σ[k＝m＋1〜∞] s_k x^k
〇 t^{m} ：＝ Σ[k＝0〜m−2] t_k x^k＋(s_{m−1}＋1)x^{m−1}＋Σ[k＝m〜∞] s_k x^k
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