スレタイ箱入り無数目を語る部屋3

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801: １３２人目の素数さん [] 2022/10/16(日) 22:47:04.82 ID:QKipb+mA

>>800
>底空間としてのK^N/∪K^n (n∈N)は、当然
>「同値類の代表元全体の空間」でなければならない

意味不明
１）K^N/∪K^n (n∈N)は、当然同値類のことでしょ？ｗ
２）”X に同値関係 ～ を「x ～ y ?⇒ ある σ ∈ F2 が存在して y = σx」で定める．
　選択公理により商集合 X/ ～ の完全代表系 M を取ることができる．”(下記 関西すうがく徒のつどい @alg_d)

(参考)
http://alg-d.com/math/ac/tsudoi3.pdf
第三回関西すうがく徒のつどい
数学の諸定理と選択公理の関係
@alg_d
2013 年 3 月 17 日
今回は「選択公理がないと宇宙がヤバイ」という話をします．
Ｐ10
X に同値関係 ～ を「x ～ y ?⇒ ある σ ∈ F2 が存在して y = σx」で定める．
選択公理により商集合 X/ ～ の完全代表系 M を取ることができる．

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%90%8C%E5%80%A4%E9%A1%9E
同値類
ある集合 S の元が（同値関係として定式化される）同値の概念を持つとき，集合 S を同値類（どうちるい，英: equivalence class）たちに自然に分割できる．

フォーマルには，集合 S と S 上の同値関係 ～ が与えられたとき，元 a の S における同値類は，a に同値な元全体の集合
{x∈ S ｜ x ～ a }
である．「同値関係」の定義から同値類は S の分割をなす．
この分割，同値類たちの集合，を S の ～ による商集合 (quotient set) あるいは商空間 (quotient space) と呼び，S/～ と表記する．

https://www.math.nagoya-u.ac.jp/~yanagida/19S/20190411.pdf
2019/04/11 配布 数学演習 VII・VIII 4 月 11 日分問題 担当: 柳田伸太郎
1 復習 1 (集合と写像, 同値関係と商集合)
1.2 同値関係と商集合

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1660377072/801

803: １３２人目の素数さん [] 2022/10/17(月) 06:49:29.06 ID:qQwmejim

>>801 補足

同値類は、置換の公理で済む。選択公理はいらないみたい
つまり、下記
置換の公理→関係→同値関係→「したがって同値類や商集合が定義できます」
で、選択公理により、下記”単射 Y → X が存在する”の部分、つまり「各同値類から、完全代表系を作ることができる」が示せるってこと

(参考)
https://math-fun.net/20200113/4906/
趣味の大学数学
公理的集合論をわかりやすく解説：ZFC公理系を例に
2022年2月19日 木村（@kimu3_slime）

置換の公理
置換の公理は、もしxに応じてある条件Φを満たすyが一意に存在するならば、そのような条件Φを満たすx,yx,yの組の集合が存在する、と言っていますね。「対応関係」を集合に置き換える公理です。

さらに同様のことをして、(A,B)の組のようなものが作れ、その和集合として直積が定義されます。

さらには、関係（relation）が定義できます。

それは、順序対の集合です。つまり、直積集合A×Bの部分集合Rを、二項関係（binary relation）と呼びます。もし(x,y)∈Rなら、x,yは関係していると考えるわけですね（直積がn個ならn項関係です。）

そして関係を使えば、写像・関数（mapping, function）が定義できます。

公理から導かれる結果
関係からは同値関係が定義でき、したがって同値類や商集合が定義できます。

https://www.math.nagoya-u.ac.jp/~yanagida/19S/20190411.pdf
2019/04/11 配布 数学演習 VII・VIII 4 月 11 日分問題 担当: 柳田伸太郎
1 復習 1 (集合と写像, 同値関係と商集合)
ｐ４
なお, 選択公理を仮定すると次の主張が示せる.
事実. 集合 X, Y について, 全射 f : X → Y が存在すれば単射 Y → X が存在する. 特に Card Y <= Card X.
証明は, 例えば参考文献 [斎藤 09] の命題 2.7.5 を参照すること.

[斎藤 09] 斎藤毅 「集合と位相」 大学数学の入門 8, 東京大学出版会 (2009).

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%90%8C%E5%80%A4%E9%96%A2%E4%BF%82
同値関係
商集合
S の相異なるすべての同値類から代表元を1つずつ集めて作った S の部分集合のことを、集合 S における同値関係 ～ の（あるいは商集合 S/～ の）完全代表系 (complete system of representatives) と呼ぶ。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1660377072/803

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