[過去ﾛｸﾞ] スレタイ 箱入り無数目を語る部屋3 (1002ﾚｽ)

スレタイ 箱入り無数目を語る部屋3 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1660377072/

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730: １３２人目の素数さん [sage] 2022/10/12(水) 00:44:28.15 ID:TRiiI02m ちなみに、スレ主は K[[x]] での極限を考えるのが好きらしいので、そのようなケースを考えてみよう。 まず、s,t ∈ K[[x]] が s〜t を満たさない場合を考察する。m≧0 に対して t^{m} ：＝ Σ[k＝0〜m−1] t_k x^k＋(s_m＋1)x^m＋Σ[k＝m＋1〜∞] s_k x^k と置けば、これは形式的ベキ級数であり、s 〜 t^{m} が成り立ち、(s, t^{m})に関するしっぽは「 m しっぽ 」である。 さて、t^{m} について、完備化されたK[[x]]の構造のもとで m→∞ の極限を考えると、 lim[m→∞] t^{m} ＝ t が成り立つことが確認できる。一方で、 (1) (s, t^{m})に関するしっぽは「 m しっぽ 」 なのだった。この(1)で m→∞ とすれば、t^{m} → t に注意して、 ・ (s, t)に関するしっぽは「 ＋∞ しっぽ 」である が成り立つかのように見える。しかし、今回は「 s〜t を満たさない」という仮定のもとで考えていたので、 (s,t)に対しては、「しっぽ」が定義できる文脈から外れている。これはどういうことかと言うと、単純に 「(1)の文章は m→∞ の極限と交換可能ではない」 ということ。ここがスレ主の間違いポイント。勝手に交換可能だと勘違いしているということ。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1660377072/730

734: １３２人目の素数さん [sage] 2022/10/12(水) 01:02:09.29 ID:TRiiI02m 細かいことだが、添え字が若干ズレてたな。 >>728 × s＝Σ[k＝0〜∞] s_k x^k と表したとき、t ＝ (s_m＋1)x^m＋Σ[k＝m＋1〜∞] s_k x^k と置けばよい。 〇 s＝Σ[k＝0〜∞] s_k x^k と表したとき、t ＝ (s_{m−1}＋1)x^{m−1}＋Σ[k＝m〜∞] s_k x^k と置けばよい。 >>730 × t^{m} ：＝ Σ[k＝0〜m−1] t_k x^k＋(s_m＋1)x^m＋Σ[k＝m＋1〜∞] s_k x^k 〇 t^{m} ：＝ Σ[k＝0〜m−2] t_k x^k＋(s_{m−1}＋1)x^{m−1}＋Σ[k＝m〜∞] s_k x^k http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1660377072/734

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