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スレタイ 箱入り無数目を語る部屋3 (1002ﾚｽ)
スレタイ 箱入り無数目を語る部屋3 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1660377072/
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712: １３２人目の素数さん [] 2022/10/11(火) 07:21:32.02 ID:hfWoJpaE >>684 >＞多項式環 K[x] 内に、τに収束する多項式のコーシー列が形成できる > 「列」は形成できるが、コーシー列かどうかは知らん > 君は多項式間の距離を定義してないから >>707 >＞いくらでも しっぽを小さくできて、しっぽを無限小にできるということ > 「無限小」の定義がないが 既に書いたが>>486より再録する https://maspypy.com/%E5%A4%9A%E9%A0%85%E5%BC%8F%E3%83%BB%E5%BD%A2%E5%BC%8F%E7%9A%84%E3%81%B9%E3%81%8D%E7%B4%9A%E6%95%B0%EF%BC%88%EF%BC%92%EF%BC%89%E5%BC%8F%E5%A4%89%E5%BD%A2%E3%81%AB%E3%82%88%E3%82%8B%E8%A7%A3%E6%B3%95 [多項式・形式的べき級数]（２）式変形による解法の導出 2022.02.21 形式的べき級数の和・差・積 形式的べき級数の和・差・積は、交換法則・結合法則・分配法則など、演算に関する自然な要請を十分に満たすことも分かります。 （※ 専門用語で、環をなすという） （※ 多項式環から形式的べき級数環を得る操作は、「環のイデアルによる完備化」という操作の特殊な場合。重要な類似物に、p 進整数環など。） 形式的べき級数環の位相 形式的べき級数 は、最低次の項が高いほど、0 に近いと考えて扱います。このことを利用して、形式的べき級数の列の極限を定義することができます： 【定義】 形式的べき級数列F1,F2,F3・・・ が F に収束するとは、任意の k に対してある N が存在して、n>=N ならば Fn と F の k次未満部分が一致することを指す。 (引用終り) http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1660377072/712
713: １３２人目の素数さん [] 2022/10/11(火) 07:24:20.02 ID:hfWoJpaE >>712 上記に関連するが >>707 > 「無限大」の定義がないが > 無限長という意味なら、その通り > かならず尻尾の長さは無限長になる > 有限長にも０にもならない 上記で定義した位相から、二つの式 F1,F2 の距離を ｜F1-F2｜＝1/(k+1) (注：k+1としたのは、定数項（0次）を扱うため) で定める つまり、上記の位相で、F1-F2が k次未満部分が一致して、はじめてk次で0で無い項がでるとき 二つの式の距離を、1/(k+1)とする 原点に極を持たない超越関数τのx=0での冪級数展開に対し τに収束する多項式のコーシー列が定義できる ｜τ-fn(x)｜＝1/(n+1) とできる （fn(x)は、τのx=0での冪級数展開で、第n-1項までを取った多項式で、τ-fn(x)は第n項から初めて0で無い項が出るとする） この距離の定義で、τ-fn(x)のしっぽの長さを1/(n+1) とできる この場合、しっぽの長さは有限だが、多項式環の中で、0に収束するコーシー列が定義できる http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1660377072/713
721: １３２人目の素数さん [sage] 2022/10/11(火) 19:01:27.72 ID:DT3AcY1E >>705 >いくらでも しっぽを小さくできて、しっぽを無限小にできるということ >>707 >「無限小」の定義がないが >>712 >形式的べき級数 は、最低次の項が高いほど、0 に近いと考えて扱います。 >>713 >上記で定義した位相から、二つの式 F1,F2 の距離を以下の式で定める >｜F1-F2｜＝1/(k+1) >(注：k+1としたのは、定数項（0次）を扱うため) >つまり、上記の位相で、F1-F2が k次未満部分が一致して、 >はじめてk次で0で無い項がでるとき >二つの式の距離を、1/(k+1)とする なるほど http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1660377072/721
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