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スレタイ 箱入り無数目を語る部屋3 (1002ﾚｽ)
スレタイ 箱入り無数目を語る部屋3 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1660377072/
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691: １３２人目の素数さん [sage] 2022/10/10(月) 17:56:20.39 ID:/bF8CLbh ・ (N, pow(N), ν) は確率空間とする。ただし、ν({4^k}) ＝ 1/2^k (k≧1) と定義する。 この確率空間は、1枚の封筒の中に確率 1/2^k で 4^k ドルが入っていることを記述する確率空間である。 この確率空間 m 個の積空間を (N_m, F_m, ν_m) と書く。よって、この確率空間は、 m枚の封筒のそれぞれに対して、確率 1/2^k で 4^k ドルが入っていることを記述する確率空間である。 ・ 次に、I＝{1,2,…,100} と置き、(I, pow(I), η) という確率空間を考える。 ただし、η({i})＝1/100 (1≦i≦100)と定義する。この確率空間は、{1,2,…,100} の中から 一様分布に従ってランダムに1つ番号を選ぶという操作を記述する確率空間である。 次に、(N_100, F_100, ν_100) と (I, pow(I), η) の積空間を (Ω, F, P) と置く。 具体的には Ω ＝ N_100×I, F ＝ σ(F_100×pow(I)), P＝(ν_100とηの積測度) である。この (Ω, F, P) は、まさしく>>の設定を記述する確率空間である。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1660377072/691
749: １３２人目の素数さん [sage] 2022/10/12(水) 12:04:33.50 ID:TRiiI02m 「100枚の封筒」の設定における確率計算(>>690-697)を例にとる。>690の設定のもとで、 この設定を記述する確率空間は>691のように定義できて、「回答者が勝利する」という事象は A ＝ { (d_1,d_2,…,d_100, i)∈Ω｜d_i≦max{d_j｜j≠i, 1≦j≦100} } (>692) で定義される。よって、回答者の勝率は P(A) と書ける。>693 で書いたように、 d＝(d_1,…,d_100)∈N_100 を固定するごとに、A の d切片 A_d は A_d ＝ {i∈I｜(d,i)∈A} ＝ {i∈I｜d_i≦max{d_j｜j≠i, 1≦j≦100} } と表現できて、i ∈ I＝{1,2,…,100} の中で d_i＞max{d_j｜j≠i, 1≦j≦100} を満たす i は高々1つ。 よって、確率空間(I, pow(I), η)において自明に η(A_d) ≧ 99/100 が成り立つ。 すると、フビニの定理により、P(A) ≧ 99/100 が直ちに従う(>>693)。 スレ主はまず、上記の確率計算(>>690-693)を完璧に理解すべきである。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1660377072/749
750: １３２人目の素数さん [sage] 2022/10/12(水) 12:13:20.46 ID:TRiiI02m >>690の設定では、封筒の中身(d1,d2,…,d100)に上限はない。そして、>>749の確率計算では、 出題する d＝(d_1,…,d_100) を固定した上で η(A_d) ≧ 99/100 を導出しており、 これを経由して P(A) ≧ 99/100 を導出している。従って、スレ主の屁理屈によれば、 「有限の (d_1,…,d_100) を固定した確率計算は、非正則分布とは確率論的に全くの別物なので、 >749の確率計算はインチキだ。回答者の実際の勝率はゼロだ」 ということになってしまう。しかし、>749の確率計算にインチキの要素はどこにもない。 なぜなら、そもそも非正則分布なんぞ使ってないからだ(使われる確率空間は>691で全て明記してある)。 また、「 d を固定した上で η(A_d) ≧ 99/100 を導出する」という、スレ主にとっては 「それはもう確率じゃないよねｗ」 としか映らないシロモノを用いて P(A) ≧ 99/100 が正しく導出されるメカニズムもはっきりしている。 そう、フビニの定理を使うだけである(>>693)。スレ主にとっては「それはもう確率じゃないよね」 としか思えないシロモノが、ちゃんと P(A) ≧ 99/100 の導出に使えるのである。 つまり、「それはもう確率ではない」というスレ主の直観は間違いだったということ。 言い換えれば、d を固定することにインチキの要素はどこにもないということ。 これは当たり前の話である。なぜなら、d を固定したところで、回答者から見れば 「封筒の中身をどんな金額に固定したのか分からない。ヒントが全くない」からだ。 結局、スレ主だけがずっと間違え続けている。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1660377072/750
758: １３２人目の素数さん [sage] 2022/10/13(木) 12:54:42.93 ID:ve7b2LlS 出題を固定した場合の確率が一体何を意味しているのかを、以下で詳細に述べる。 100枚の封筒(>>690-693)の例において、出題者が100枚の中身 d＝(d1,d2,…,d100) を固定すると、 回答者の勝率は 99/100 以上になるのだった。これはどういうことかというと、 「 "回答者が勝利する" という事象の、d における断面として出現する事象は 99/100 以上の確率を有している」 ということ。簡潔に書けば、>>692 の事象 A に対して、 「 A の d における切片 A_d は、確率空間(I, pow(I), η)において η(A_d) ≧ 99/100 を満たす」 ということ。一行で書けば、 ∀d∈N_100 s.t η(A_d) ≧ 99/100 ということ。スレ主は「固定はインチキだ」と主張しているが、インチキでもなんでもなく、正しい計算である。 d を固定するごとに、A の d における切片 A_d が定義できて、この A_d は確率空間(I, pow(I), η)において 可測であり、よってη(A_d)が定義できて、しかも自明に η(A_d) ≧ 99/100 であるという、 そういう簡単な事実を述べているだけである。どこにもインチキの要素はない。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1660377072/758
759: １３２人目の素数さん [sage] 2022/10/13(木) 12:58:36.07 ID:ve7b2LlS より一般的に、>>691 の確率空間(Ω,F,P)において、事象 B∈F を任意に取る。 (i) P(B)≧ 99/100 (ii) ∀d∈N_100 s.t η(B_d) ≧ 99/100 という2つの条件について考察する。まず、(ii)が成り立つ場合、フビニの定理から直ちに(i)が従う。 その計算方法は>>693と全く同じだが、一応書いておくと、 P(B) ＝ ∫_Ω 1_B(ω) dP ＝ ∫_{N_100}∫_I 1_B(d,i) dη dν_100 ＝∫_{N_100}∫_I 1_{B_d}(i) dη dν_100 ＝ ∫_{N_100} η(B_d) dν_100 ≧ ∫_{N_100} (99/100) dν_100 ＝ 99/100 ということ。よって、(ii)が成り立つなら(i)が成り立つ。逆に、(i)が成り立つとしても、必ずしも(ii)は成り立たない。 これはどういうことかというと、事象 B に関する構造について、 (ii)の方が(i)よりも詳細な構造を述べているということ。 同じことだが、(i)は荒い構造しか述べてないということ。要するに、 「(ii)が示せるなら、その方が価値が高い」 「(ii)が示せるなら、それに越したことはない」 ということ。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1660377072/759
778: １３２人目の素数さん [sage] 2022/10/14(金) 06:27:50.53 ID:qAcMEQxL 100枚の封筒(>>690-693)を例にとる。 スレ主は「出題を固定した時点で確率論的な文脈が破壊される」と勘違いしているが、 実際にはそうではない。出題 d を固定した時点で、 「もともとの事象の、d における断面」 が新たな事象として登場するだけであり、確率論的な文脈は この事象に引き継がれるだけである。 厳密に書けば、もともとの事象を B として、出題 d を固定したなら、B の d における切片 B_d が定義できて、 「確率論的な文脈は、この新たな事象 B_d に引き継がれるだけ」 である。つまり、出題 d を固定しても、確率論的な文脈は全く破壊されない。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1660377072/778
780: １３２人目の素数さん [sage] 2022/10/14(金) 06:38:20.27 ID:qAcMEQxL >>770 ＞２）可算無限数列のしっぽを使った決定番号 ＞ そこから、d1,d2,・・・d100を使うトリック ＞３）結局ここで、確率論を踏み外しているんだｗ 全く踏み外していない。 ・ >>690-693の場合だと、d を固定したとき、A の d における断面 A_d が新たな事象として出現し、 確率的な文脈は A_d に引き継がれる。すなわち、d を固定しても確率論的な文脈は破壊されない。 別の言い方をすれば、d を固定することの確率論的な根拠と意味付けが断面 A_d によって担保される。 ・ A_d は確率空間(I, pow(I), η)において可測なので、η(A_d)が定義できて、しかも η(A_d) ≧ 99/100 である。 これが言えると何がうれしいのかと言うと、フビニの定理から直ちに P(A) ≧ 99/100 が従うのがうれしい。 ・ これは一般的に成り立つ。すなわち、B を事象として、もし ∀d∈N_100 s.t η(B_d) ≧ 99/100 が成り立つなら、 フビニの定理から直ちに P(B) ≧ 99/100 が従う。すなわち、η(B_d) ≧ 99/100 という性質は P(B) ≧ 99/100 よりも深い性質を述べているのであり、η(B_d) ≧ 99/100 が示せるなら、それに越したことはない。 ・ そして、η(A_d) ≧ 99/100 は「 d を固定したときの回答者の勝率が 99/100 以上」という意味である。 これが示せるなら、それに越したことはないということ。時枝記事はまさにこれ。 以上の理由により、時枝記事は確率論を全く踏み外してない。 単にスレ主が、確率空間の積空間において出現する「断面」を見落としているだけ。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1660377072/780
786: １３２人目の素数さん [sage] 2022/10/14(金) 21:41:18.53 ID:qAcMEQxL 100枚の封筒(>>690-693)を例にとる。この設定では、 封筒の中身は「確率 1/2^k で 4^k ドル」(k≧1) なので、金額に上限はない。 さて、出題者が d＝(d1,d2,…,d100)∈N_100 を固定するとき、回答者の勝率は 99/100 以上になるのだった。 厳密に書けば、A の d における切片 A_d について、η(A_d) ≧ 99/100 が成り立つのだった。 すると、フビニの定理によって P(A) ≧ 99/100 が成り立つのだった。 ところが、スレ主の屁理屈によると、次のようになる。 ・ 100枚の封筒の中身 d1,d2,…d100 に上限はないので、自然数Ｎ全体からみれば、 d1,d2,…d100 は原点0の近くの有限部分でしかない。すると、上記の世論調査と同様、 d1,d2,・・・d100の領域はＮ全体から見れば0に等しい。よって、0*(99/100)＝0 である。 つまり、P(A)＝0 である。 これがスレ主の言っていること。明確に間違っている。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1660377072/786
789: １３２人目の素数さん [sage] 2022/10/14(金) 22:06:56.24 ID:qAcMEQxL >>782 ＞２）全国区世論調査なら、北は北海道から南は九州沖縄まで、無作為抽出すべき ＞ ところが、南の九州の離れ小島だけ抽出したら？ ＞ それはまずい。島の人口100人で、99％の内閣支持率だという 再び100枚の封筒(>>690-693)で説明するが、まず ∀d∈N_100 s.t η(A_d)≧99/100 が成り立っていて、 フビニの定理から P(A)≧99/100 を得るのだった。ここで、「 d ごとに η(A_d)≧99/100 が成り立つ」とは、 ・ 固定された100人において 99％の支持率 に対応する。ただし、勘違いしてはいけないのは、ある1つの d＝(d1,d2,…,d100)に対してのみ η(A_d) ≧ 99/100 が示せたのではなく、他の任意の d∈N_100 に対しても η(A_d)≧99/100 が 示せているということ。実際、∀d∈N_100 s.t η(A_d)≧99/100 という論理式にはちゃんと 「 ∀d∈N_100 」がついていることに注意せよ。つまり、 ・ ある島Vから選んだ100人で、99％の支持率 ・ 別の島Wから選んだ人口100人で、99％の支持率 ・ 北海道と沖縄から選んだ100人で、99％の支持率 ・ 東京都と京都と大阪から選んだ100人で、99％の支持率 ・ ある島Vと別の島Wと北海道と沖縄と大阪から選んだ100人で、99％の支持率 ： ： というふうに、「日本全国から抽出した、あらゆる全ての100人の組み合わせ」に対して99％の支持率だということ。 それに対応するのが ∀d∈N_100 s.t η(A_d)≧99/100 だということ。 そして、それを示しているのが時枝記事だということ。つまり、時枝記事の確率計算には、 スレ主が言うところの「偏り」(一部の島でしか世論調査してないという偏り)なんぞ全く生じていない。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1660377072/789
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