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スレタイ 箱入り無数目を語る部屋3 (1002ﾚｽ)
スレタイ 箱入り無数目を語る部屋3 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1660377072/
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601: １３２人目の素数さん [] 2022/10/08(土) 20:57:45.71 ID:iT+5Nk3s >>598 補足 この柳田伸太郎先生、形式的冪級数の空間について、結構纏まっているね P164から問題の解答がある。親切だね https://www.math.nagoya-u.ac.jp/~yanagida/index-j.html 柳田伸太郎 名古屋大学 大学院多元数理科学研究科 https://www.math.nagoya-u.ac.jp/~yanagida/2022B1.html 2022年度春学期 現代数学基礎BI https://www.math.nagoya-u.ac.jp/~yanagida/22S/2022BI.pdf 2022年度 現代数学基礎BI 講義ノート 担当: 柳田 伸太郎 ver. 2022.07.27 Ｐ36 問題 2.2.9. 例 1.3.7 で扱った多項式空間 K[x], 例 1.3.8 で扱った形式的冪級数の空間 K[[x]], 問題 1.3.4 で 扱った Laurent 多項式の空間 K[x^±1], 問題 1.3.6 で扱った Laurent 級数の空間 K[x^-1, x]], 問題 1.3.7 で扱った形式的 Laurent 級数の空間 K[[x^±1]] を思い出す. (1) 以下の部分空間の列がある事を示せ. K[x] ⊂ K[[x]] ⊂ K[x^-1, x]] ⊂ K[[x^±1]], K[x] ⊂ K[x^±1] ⊂ K[x^-1, x]] ⊂ K[[x^±1]]. (2) K[[x]] ∩ K[x^±1] と K[[x]] + K[x^±1] を求め, それぞれが K[[x^±1]] の部分空間である事を確かめよ. P38 例 2.3.5. 形式的冪級数の空間 K[[x]] (例 1.3.8) から I = N を添字集合とする直積 K^N =Πi∈N K への写像 ψ: K[[x]] -→ K^N, Σi=0～∞ fix^i -→ (fi)i∈N は同型写像 (証明は問題 2.3.2). 例 1.3.3 より K^N は数列空間だから, 形式的冪級数の空間 K[[x]] と数列空間 K^N は同じ線形空間と見なせる事が分かる. P58 多項式空間 K[x] や形式的冪級数の空間 K[[x]] は無限次元. P106 問題 8.1.6. 多項式空間 K[x] の双対空間は形式的冪級数の空間 K[[x]] と同型である事を示せ。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1660377072/601
607: １３２人目の素数さん [] 2022/10/09(日) 07:22:39.99 ID:EQIZYqFv >>598 無意味 >>601 ＞多項式空間 K[x] の双対空間は形式的冪級数の空間 K[[x]] と同型 多項式空間は、形式的冪級数の空間と同型ではないけど理解できてる？ >>602 まず、無限次多項式は存在しない これ、初歩 理解できてる？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1660377072/607
611: １３２人目の素数さん [] 2022/10/09(日) 11:21:15.92 ID:yhqNfXZG >>607 >＞多項式空間 K[x] の双対空間は形式的冪級数の空間 K[[x]] と同型 > 多項式空間は、形式的冪級数の空間と同型ではないけど理解できてる？ なにを誤読しているのか？ｗ ”双対空間”と書いてあるだろ？ｗｗ >>608-609 >多 項 式 環 に 非 多 項 式 が 属 す 多項式環には、いかなる有限次多項式よりも 大きな次数の多項式が属する この意味で、”多項式空間 K[x] や形式的冪級数の空間 K[[x]] は無限次元.”>>601 これは「レーヴェンハイム-スコーレムの定理で "定理の上方部分の証明は、いくらでも大きな有限のモデルを持つ理論は無限のモデルを持たねばならないことをも示す"」>>489 とも合致する http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1660377072/611
624: １３２人目の素数さん [] 2022/10/09(日) 18:19:48.00 ID:yhqNfXZG >>611 補足 >多項式環には、いかなる有限次多項式よりも 大きな次数の多項式が属する >この意味で、”多項式空間 K[x] や形式的冪級数の空間 K[[x]] は無限次元.”>>601 多項式環を完備化すると、形式的冪級数環になる これは、有理数の完備化で実数になるのと類似で、 有理数の部分集合の有限小数を使っても、完備化できて、実数になるのと同様だ つまり 有限小数環⊂有理数環(循環節をもつ無限小数) ⊂実数（完備化されたもの） ↓↑ 多項式環 ⊂循環節をもつ形式的冪級数の加法群＊）⊂形式的冪級数環（完備化されたもの） という対応になる（＊）加群を環にできるかも。循環節は加法では保たれる。乗法でも保たれる？） 有限小数の積と和の結果は、やはり有限小数だから、環に成るのは良いだろう 有理数を小数展開すると、無限小数なら循環節をもつ。有限小数になる場合もある。有限小数は、しっぽが0の循環節とみれば、循環節をもつ無限小数で纏められる 有理数のコーシー列で、完備化ができて、実数ができる 同様に、有理数を有限小数に置き換えても、コーシー列で、完備化ができて、実数ができる （例 円周率π＝3.14159・・・ この小数展開から、有限小数のコーシー列ができる） さて、有限小数のコーシー列、これが有限で終わっては、完備化にならない だから、有限小数のコーシー列は無限に続かなければならない しかし、有限小数環の中には、無理数は存在しない。だから、無限列だが、πには決して到達しない（可能無限） 同じように、多項式環を使って、超越関数 例えば 指数関数 e^x に収束するコーシー列を作ることができる e^x＝Σn=0～∞ (x^n)/n！＝1+ｘ+(x^2)/2！+(x^3)/3！+・・・ この冪級数を使って、多項式のコーシー列を作ることができることは自明だろう 多項式環の中には、超越関数は含まれない だから、多項式のコーシー列が、指数関数 e^xに到達することはない（可能無限） しかし、多項式のコーシー列によって完備化され、形式的冪級数環が出来る（有限小数のコーシー列で完備化でき実数が出来るのと同様だ） ここらは、デリケートで難しい話だ これが分からない人がいても、不思議では無い！ｗ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1660377072/624
681: １３２人目の素数さん [] 2022/10/10(月) 16:33:10.61 ID:EBzEjr+/ >>667 補足 > １．原理的には、これに尽きている > ２．要するに、時枝氏の記事は、原理的に不成立 > ３．その根本は、可能無限たる多項式環のランダムに選んだ多項式の次数の大小比較の確率に依存していること あと、多項式環は、無限次元線形空間>>189＆>>601 だから、形式的冪級数の空間 K[[x]] >>601のしっぽの同値類で いま、ある形式的冪級数τを考えると>>667 多項式環 K[x] （可能無限）との比較で、 多項式環 K[x] 内に、τに収束する多項式のコーシー列が形成できる>>624 つまり、多項式のコーシー列は、 K[x] 内でτには到達しないが、収束はするので>>624 多項式のコーシー列を、f1(x),f2(x),・・,fn(x),・・ と書くと しっぽ τ-fn(x) はどんどん小さくなる。無限に小さくなる！ だから、無限に小さくなるしっぽを使った確率計算が、原理的に不成立(確率99/100は出ない！)ってことよ！！ｗ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1660377072/681
705: １３２人目の素数さん [] 2022/10/10(月) 23:11:24.78 ID:EBzEjr+/ >>681 補足 もう既に書いたことだが １）可算無限列 a0,a1,a2,・・an,・・を 形式的冪級数τ＝a0+a1x+a2x^2+・・+anx^n+・・に写して考えることができる（>>601 柳田伸太郎 名大 ） ２）しっぽの同値類は、同じ同値類に属する形式的冪級数τ1,τ2で差を作ると f(x)＝τ1-τ2 と多項式になる（等しいしっぽの項の部分が消える） 逆に、τ1＝τ2+f(x)と書ける。つまり、同じ同値類に属する形式的冪級数は、τ2と多項式f(x) の和に書ける このことから、一つの同値類全体は、あるτ＋K[x] と書ける（K[x] は多項式環>>601で、 "τ＋K[x]"の+は、記号の濫用） ３）決定番号は、多項式f(x)の次数nのとき、n+1となる （つまり、n+1以降が共通のしっぽ部分になる） ４）形式的冪級数環の空間 K[[x]]>>601と多項式環K[x] との関係は 多項式環K[x]を完備化すると K[[x]]になると考えることができる >>624 >>486-487 （ちょうど、有限小数環を完備化すると、無限小数たる超越数等を含む実数の集合になるのと同じ）>>624>>629 ５）多項式環K[x]の中で、コーシー列が形成できて、それが例えば超越関数τに収束する。が、τには到達しない（寸止め状態（皮一枚残り））>>681 それは、可能無限状態で、いくらでも超越関数τに近い多項式が作れるってこと ６）これを、同値類のしっぽの視点で考えると、 いくらでも しっぽを小さくできて、しっぽを無限小にできるということ（本来はこちら）>>681 ７）だから、時枝記事のように、 同値類のしっぽが無限大の大きさであることを前提とした確率99/100の議論は、前提が間違っているってこと つまり、”時枝記事の「99/100以上」という勝率”が、根本から間違っているってこと http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1660377072/705
714: １３２人目の素数さん [] 2022/10/11(火) 07:32:17.51 ID:hfWoJpaE >>710 >スレ主の涙ぐましい努力 涙ぐましくもなんともない 大して努力は、していない ただ、>>601 柳田伸太郎 名古屋大 などの文献から 例えば ”P38 例 2.3.5. 形式的冪級数の空間 K[[x]] (例 1.3.8) から I = N を添字集合とする直積 K^N =Πi∈N K への写像 ψ: K[[x]] -→ K^N, Σi=0～∞ fix^i -→ (fi)i∈N は同型写像 (証明は問題 2.3.2). 例 1.3.3 より K^N は数列空間だから, 形式的冪級数の空間 K[[x]] と数列空間 K^N は同じ線形空間と見なせる事が分かる.”>>601 など、既存の数学の成果を使わせて貰い、そこで言えることを援用しているだけのことさｗ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1660377072/714
739: １３２人目の素数さん [] 2022/10/12(水) 07:21:15.46 ID:9R3xgkXT >>735 >＞意味わかんないけど > 長さを定義しないから、意味がわかんないんだよ > 尻尾の長さは始まりから終わりまでの項の数 だから、そういう定義では、 コーシー列は収束しないだろ？ 例えば、円周率π を、無限小数展開する π＝3.141592・・・ 一方、これから有限小数列を作る π1＝3,π2＝3.1,π3＝3,14,・・・ πn＝3.141592・・ (小数第n-1位まで) ｜π-πn｜を考えると、これはどんどん小さくなって、コーシー列としてπに収束する 項の数は、無限だろうが、 しっぽは、小さくなっていると思って良いんじゃね？ｗ > 終わりがなければ、当然無限 それで済むなら、無限公理はいらんわな 「限りが無い」＝「無限」だけれど そして、「いかなる有限よりも大きい」＝無限大 だけれど 数理哲学的には、可能無限と実無限に分けられるよ （無限公理で、実無限ができる） 例えば ”多項式空間 K[x] や形式的冪級数の空間 K[[x]] は無限次元”>>601 柳田伸太郎 名古屋大より これで ”形式的冪級数の空間 K[[x]] と数列空間K^N は同じ線形空間と見なせる”>>601（実無限）だけれど 多項式空間 K[x] は、可能無限であって、数列空間K^N （＝ K[[x]] ）の真部分集合でしかない http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1660377072/739
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