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スレタイ 箱入り無数目を語る部屋3 (1002ﾚｽ)
スレタイ 箱入り無数目を語る部屋3 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1660377072/
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480: １３２人目の素数さん [sage] 2022/09/26(月) 00:47:36.25 ID:hj+GqWOH たとえば、ここに1枚の封筒があって、確率 1/2^n で 4^n ドルが入っているとする(n≧1)。 従って、封筒の中身の平均値(＝期待値)は ＋∞ に発散する。ここでスレ主は、 ・ 封筒の中身自体が確率1で「＋∞ドル」である と勘違いしているわけだ。残念ながら、この例では、封筒の中身は常に有限値である。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1660377072/480
481: １３２人目の素数さん [sage] 2022/09/26(月) 00:55:03.54 ID:hj+GqWOH 決定番号の場合はどうか？出題者は x∈[0,1]^N をランダムに選ぶ(ここでのランダム性は>>396の定義)。 その x から出力される決定番号は d(x) である。その値の平均値(＝期待値)は Σ[n＝1〜∞] n * μ_N(d＝n) で計算できる。残念ながら、(d＝n) が非可測なので、上記の値は実際には定義不可能。 だが、仮に定義可能だったとして、おそらく ＋∞ に発散しているであろう。すなわち、 ・ 仮に決定番号の期待値が定義できたとしても、期待値は ＋∞ に発散しているだろう ということ。ここでスレ主は、>>479-480と同じ仕組みによって、 ・ ゆえに d(x) 自体が確率 1 で ＋∞ という値を取る(ほとんど至るところの x∈[0,1]^N で d(x)＝＋∞ である) と勘違いしているわけだ。実際には (d∈N) ＝ [0,1]^N なので、 任意の x∈[0,1]^N で d(x)∈N である。すなわち、d(x)＝＋∞ という状況は全く発生しない。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1660377072/481
488: １３２人目の素数さん [sage] 2022/09/29(木) 13:28:08.47 ID:Vbe/WZxQ >>486-487 時枝記事とは無関係な補足を連発しているスレ主であるが、 いくら多項式環・ベキ級数環について補足を繰り返したって、 時枝戦術が勝率ゼロであることは導けないぞ。 なんたって、決定番号は常に有限値だからな。 出題者がランダムに出題した場合には、出力される決定番号は毎回異なるが、 それでも「その回ごとに有限値」だからね。 少なくとも、「決定番号は確率1で＋∞」などというバカみたいなことは言えない。 決定番号の "期待値" に相当する量は＋∞かもしれないが、 スレ主はこれを「決定番号は確率1で＋∞ 」だと勘違いしているわけだ。 >>480で「封筒の中身自体が確率1で＋∞ドルである 」と勘違いするのと 同じ間違え方をしてるわけ。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1660377072/488
490: １３２人目の素数さん [sage] 2022/09/29(木) 21:41:45.61 ID:Vbe/WZxQ >>489 ＞多項式環において、その元の各多項式は有限次だが、 ＞その次数はいくらでも大きくとることができる だからと言って、「確率1で多項式の次数は＋∞」などというバカみたいな性質は成り立たない。 多項式の次数の "期待値" は ＋∞ かもしれないがね。 >>480の例において、封筒の中身はいくらでも大きい可能性があるが、 だからと言って「確率1で封筒の中身は＋∞ドル」とはならないのと同じ。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1660377072/490
499: １３２人目の素数さん [sage] 2022/09/30(金) 10:54:57.38 ID:psVftveJ >>480に沿って、具体例を1つ挙げる。 ここに封筒1〜封筒100の100枚の封筒があって、 どの封筒にも、確率 1/2^n で 4^n ドルが入っているとする(n≧1)。 回答者は、100枚の封筒の中からランダムに1枚の封筒を選んで、 その封筒の表面に「＊」という印をつける。そして、100枚の封筒を一斉に開封する。 (＊がついた封筒の中身) ＞ (それ以外の封筒の中身の最大値) が成り立つ場合には、回答者は何も貰えない(このケースは回答者の「負け」とする)。 そして、これ以外のときは、回答者は＊がついてない99枚の封筒の中身を全て貰える (このケースは回答者の「勝ち」とする)。 この設定下で、回答者の勝率は 99/100 以上である。 ちなみに、今回は封筒の中身の分布が具体的に指定されているので、 回答者の厳密な勝率 r を厳密に算出することも可能だが、 「 r ≧ 99/100 が成り立つ」という性質こそが本題なので、r の厳密な値はどうでもいい。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1660377072/499
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