スレタイ箱入り無数目を語る部屋3

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169: １３２人目の素数さん [] 2022/09/07(水) 14:19:04.01 ID:7YSV3p8I

>>168
つづき

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%9A%E9%A0%85%E5%BC%8F%E7%92%B0
多項式環
定義
体 K に係数を持つ不定元 X に関する多項式とは
P=p_mX^m+p_m-1X^m-1+・・・ +p_1X+p_0
の形の式のことである。ここで p_0, …, p_m は K の元で、P の係数といい、X, X^2, … は形式的な記号だが X の冪という。
係数が零であるような項 p_k?X^k (pk = 0) は省略することができる。

注意すべき点として、多項式には項が有限個しかないこと -つまり十分大きな k（ここでは k > m）に関する係数 p^k がすべて零であるということ- は、暗黙の了解である。多項式の次数とは X k の係数が零でないような最大の k のことである。特別な場合として、零多項式（係数が全て零）の次数は定義しないか、あるいは負の無限大 -∞ と定義する。

体 K に係数を持つ多項式全体の成す集合は可換環を成し、K[X] で表して、K 上の多項式環 (ring of polynomials over K) と呼ぶ。記号 X は普通「変数」と呼び、もうすこし一般の多変数の多項式環と区別するためにここでの多項式環を K 上一変数の多項式環と呼ぶ。

時枝問題（数学セミナー201511月号の記事） 「箱入り無数目」抜粋
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1620904362/402
実数列の集合 R^Nを考える.
s = (s1，s2，s3 ，・・・)，s'=(s'1， s'2， s'3，・・・ )∈R^Nは，ある番号から先のしっぽが一致する∃n0：n >= n0 → sn＝ s'n とき同値s ～ s'と定義しよう(いわばコーシーのべったり版).
念のため推移律をチェックすると，sとs'が1962番目から先一致し，s'とs"が2015番目から先一致するなら，sとs"は2015番目から先一致する.
sとrとがそこから先ずっと一致する番号をsの決定番号と呼び，d = d(s)と記す.
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1660377072/169

170: １３２人目の素数さん [] 2022/09/07(水) 20:57:39.32 ID:HNz4ykyw

>>169 つづき
先に書いておくが、もちろん、この話は時枝トリックを暴くことにある

さて、形式的冪級数として、下記の指数関数 exp(x)＝e^x を考える
べき級数展開で、その係数は
1,1,1/2!,1/3!,・・1/n!,・・ となることはよく知られている

いま、多項式環(>>169)で、係数は実数Rとして、その記号を借用すれば、R[X]で実係数多項式環を表すとして
また、下記の同値類の記号[a]を借用して、指数関数をしっぽとする同値類は[e^x]と書ける
[e^x]＝{e^x+f(x)｜f(x)∈R[X] }
（くどいが、補足すると、f(x)は実係数多項式で多項式環R[X]の元。e^x+f(x)の冪級数のしっぽがe^xと一致することは自明（∵f(x)は有限次数の多項式））

これで、わかりのいい人は、もう見えているだろうが
時枝の可算無限個の数列およびしっぽの同値類と、その数列を係数とする形式的冪級数環および多項式環との関係がついた

なお、念のため注意しておくが、多項式環はその元は有限次数多項式だが、この式の次数には上限がない
（∵ｎ次とｍ次の積から、n+ｍ次式が出来て、それも環の元だから）

つまり、個々の元は有限次だが、集合としての環は無限次（上限が無い）なのです（ちょうど自然数が元は有限でも、集合は無限集合になるが如し）
ここも押えておきたい

今回はここまで。今後を、請うご期待

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8C%87%E6%95%B0%E9%96%A2%E6%95%B0
指数関数
exp(x)＝e^x＝1+x+1/2!x^2+1/3!x^3・・+1/n!x^n+・・＝Σn=0～∞ 1/n!x^n

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%90%8C%E5%80%A4%E9%A1%9E
同値類
記法と定義
元 a の同値類は [a] と書き，a と ? によって関係づけられる元全体の集合
[a]={x∈ X ｜a ～ x}
として定義される．
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1660377072/170

576: １３２人目の素数さん [] 2022/10/07(金) 08:03:07.10 ID:JooN1fem

>>560 補足
>時枝記事が正しければ、
>無限のランダムウォーク中にひとつ
>ランダムウォークのしっぽ同値類を使って、確率99/100で的中できる
>というアホな話になるｗ

まあ、現代確率論、確率過程論で
時枝記事がデタラメということは、すぐ分かる
だが、時枝記事の謎解きは別だ

時枝記事の謎解きは、
可算無限数列（実無限）>>1
　↓
形式的冪級数（環）>>168
　↓
しっぽの同値類＝多項式（環）>>169（可能無限）>>472
　↓
可能無限から反例構成できる
という流れで説明できるだろう

つまり
１）形式的冪級数環で、その級数のしっぽの同値類を考える
２）同じ同値類の二つの元の差を取ると、しっぽの部分が消えて、多項式になる
　具体的には、二つの元を下記とする
　τa＝a0+a1x+a2x^2・・+anx^n+an+1x^n+1 ・・
　τb＝b0+b1x+b2x^2・・+bnx^n+an+1x^n+1 ・・(つまり、n+1項以上のしっぽ部分が一致)
　f(x)＝τa-τb で n次多項式になる（式の計算はスペースの都合で略す）
３）逆に、一つの形式的冪級数τに対して、
　その同値類の元は、τ+f(x) と書ける
（τの例としては、超越関数の原点x=0での級数展開をイメージして貰えば分かり易いだろう）
４）いま、出題された数列から、τ+f(x) が構成できたとしょう
　そして、この同値類における代表を、τ+fd(x)としよう
５）時枝の記事>>1は、ある大きな次数（自然数）mを取れば、
　m以上の項は、同値類でしっぽの共通部分に当たるから、
　代表のτ+fd(x)を見れば、問題のτ+f(x) の共通のしっぽの部分も推察がつくというものだ>>1
６）時枝記事は、99個の列を作って、それらの決定番号の最大値 Dmax99 を得て
　それを上記mとして利用しようというもの
　それで、確率99/100を得るという
　（決定番号の説明は https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1620904362/402 ご参照）
　（確率99/100は https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1620904362/403 ご参照）
７）しかし、多項式環は、無限次元線形空間（>>189 都築 暢夫 広島大）であるから
　原理的に、有限の Dmax99 を与えても、確率99/100と出来ないことは自明だろう

以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1660377072/576

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