スレタイ箱入り無数目を語る部屋3

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169: １３２人目の素数さん [] 2022/09/07(水) 14:19:04.01 ID:7YSV3p8I

>>168
つづき

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%9A%E9%A0%85%E5%BC%8F%E7%92%B0
多項式環
定義
体 K に係数を持つ不定元 X に関する多項式とは
P=p_mX^m+p_m-1X^m-1+・・・ +p_1X+p_0
の形の式のことである。ここで p_0, …, p_m は K の元で、P の係数といい、X, X^2, … は形式的な記号だが X の冪という。
係数が零であるような項 p_k?X^k (pk = 0) は省略することができる。

注意すべき点として、多項式には項が有限個しかないこと -つまり十分大きな k（ここでは k > m）に関する係数 p^k がすべて零であるということ- は、暗黙の了解である。多項式の次数とは X k の係数が零でないような最大の k のことである。特別な場合として、零多項式（係数が全て零）の次数は定義しないか、あるいは負の無限大 -∞ と定義する。

体 K に係数を持つ多項式全体の成す集合は可換環を成し、K[X] で表して、K 上の多項式環 (ring of polynomials over K) と呼ぶ。記号 X は普通「変数」と呼び、もうすこし一般の多変数の多項式環と区別するためにここでの多項式環を K 上一変数の多項式環と呼ぶ。

時枝問題（数学セミナー201511月号の記事） 「箱入り無数目」抜粋
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1620904362/402
実数列の集合 R^Nを考える.
s = (s1，s2，s3 ，・・・)，s'=(s'1， s'2， s'3，・・・ )∈R^Nは，ある番号から先のしっぽが一致する∃n0：n >= n0 → sn＝ s'n とき同値s ～ s'と定義しよう(いわばコーシーのべったり版).
念のため推移律をチェックすると，sとs'が1962番目から先一致し，s'とs"が2015番目から先一致するなら，sとs"は2015番目から先一致する.
sとrとがそこから先ずっと一致する番号をsの決定番号と呼び，d = d(s)と記す.
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1660377072/169

460: １３２人目の素数さん [] 2022/09/24(土) 10:04:44.38 ID:sY2IMk68

>>459
つづき

2）
・二つの多項式 g(x)とf(x)で差を作る、式g(x)-f(x)の次数は基本的にg(x)より小さくならない
　g(x)の次数ｍ、f(x)の次数ｎとする。式g(x)-f(x)の次数は、一般にmax(m,n)である
　例外としてm＝nの場合のみ、次数が下がる可能性がある。つまり、m＝nの最高次の係数が等しいときのみ、最高時の項が消えて次数が下がる
・つまり、決定番号は、基本的にf(x)の無作為な選び方で下げることはできないことを意味する（後述）

3）（かなりの部分>>361より再録）
・ある人が問題の数列を作った
　調べると、箱の数は(a0,a1,・・an・・)で、調べると
　ある超越関数τ(x)の原点0での級数展開の係数と一致した
　即ち τ(x)＝a0+a1x+・・anx^n・・ と書ける
・形式的べき級数>>168のしっぽの同値類分類で、
　τ(x)と同じ同値類に属する関数をτ’(x)とする
　差を作ると τ(x)-τ’(x)＝f(x) と書ける
　τ’(x)＝τ(x)-f(x) となる
・しっぽの部分の各項が一致しているからf(x)は多項式だ
　この多項式をｎ次式とする。このとき、決定番号はn+1となる （これは、作為（詳細は>>361をご参照））
・ところで、同値類はこのような多項式を全て集めたものだから、多項式環>>189を成す
　多項式環を線形空間と考えると、無限次元になる>>189
・さて、出題が、τ’’(x)＝τ(x)+g(x)だったとする
　g(x)は、多項式環 無限次元線形空間の元だから、いくらでも大きく取れる
　代表元をτ’(x)＝τ(x)+f(x) とする
　τ’’(x)-τ’(x)＝g(x)-f(x) となる。この式の次数+1が決定番号だ
　上記2）項で示したように、g(x)-f(x) の次数は 出題のg(x)の次数以下に下げることは、基本的にはできない
・だから、決定番号d1,・・d100を全て有限に選ぶことは無作為にはできない
　（∵ g(x)の次数は、いくらでも大きく取ることができ、無限次元線形空間の点なのだから、基本は無限大）
　次数を下げることは、作為があれば可能だが、それはもう確率論ではない！
・ここらが、時枝記事のトリックですね

以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1660377072/460

576: １３２人目の素数さん [] 2022/10/07(金) 08:03:07.10 ID:JooN1fem

>>560 補足
>時枝記事が正しければ、
>無限のランダムウォーク中にひとつ
>ランダムウォークのしっぽ同値類を使って、確率99/100で的中できる
>というアホな話になるｗ

まあ、現代確率論、確率過程論で
時枝記事がデタラメということは、すぐ分かる
だが、時枝記事の謎解きは別だ

時枝記事の謎解きは、
可算無限数列（実無限）>>1
　↓
形式的冪級数（環）>>168
　↓
しっぽの同値類＝多項式（環）>>169（可能無限）>>472
　↓
可能無限から反例構成できる
という流れで説明できるだろう

つまり
１）形式的冪級数環で、その級数のしっぽの同値類を考える
２）同じ同値類の二つの元の差を取ると、しっぽの部分が消えて、多項式になる
　具体的には、二つの元を下記とする
　τa＝a0+a1x+a2x^2・・+anx^n+an+1x^n+1 ・・
　τb＝b0+b1x+b2x^2・・+bnx^n+an+1x^n+1 ・・(つまり、n+1項以上のしっぽ部分が一致)
　f(x)＝τa-τb で n次多項式になる（式の計算はスペースの都合で略す）
３）逆に、一つの形式的冪級数τに対して、
　その同値類の元は、τ+f(x) と書ける
（τの例としては、超越関数の原点x=0での級数展開をイメージして貰えば分かり易いだろう）
４）いま、出題された数列から、τ+f(x) が構成できたとしょう
　そして、この同値類における代表を、τ+fd(x)としよう
５）時枝の記事>>1は、ある大きな次数（自然数）mを取れば、
　m以上の項は、同値類でしっぽの共通部分に当たるから、
　代表のτ+fd(x)を見れば、問題のτ+f(x) の共通のしっぽの部分も推察がつくというものだ>>1
６）時枝記事は、99個の列を作って、それらの決定番号の最大値 Dmax99 を得て
　それを上記mとして利用しようというもの
　それで、確率99/100を得るという
　（決定番号の説明は https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1620904362/402 ご参照）
　（確率99/100は https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1620904362/403 ご参照）
７）しかし、多項式環は、無限次元線形空間（>>189 都築 暢夫 広島大）であるから
　原理的に、有限の Dmax99 を与えても、確率99/100と出来ないことは自明だろう

以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1660377072/576

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