スレタイ箱入り無数目を語る部屋3

[過去ﾛｸﾞ] スレタイ箱入り無数目を語る部屋3 (1002ﾚｽ)
上下前次1-新
通常表示 512ﾊﾞｲﾄ分割ﾚｽ栞
抽出解除必死ﾁｪｯｶｰ(本家) (べ) 自ID ﾚｽ栞あぼーん

このｽﾚｯﾄﾞは過去ﾛｸﾞ倉庫に格納されています｡
次ｽﾚ検索歴削→次ｽﾚ栞削→次ｽﾚ過去ﾛｸﾞﾒﾆｭｰ

624: １３２人目の素数さん [] 2022/10/09(日) 18:19:48.00 ID:yhqNfXZG

>>611 補足
>多項式環には、いかなる有限次多項式よりも 大きな次数の多項式が属する
>この意味で、”多項式空間 K[x] や形式的冪級数の空間 K[[x]] は無限次元.”>>601

多項式環を完備化すると、形式的冪級数環になる
これは、有理数の完備化で実数になるのと類似で、
有理数の部分集合の有限小数を使っても、完備化できて、実数になるのと同様だ

つまり
有限小数環⊂有理数環(循環節をもつ無限小数)　⊂実数（完備化されたもの）
　↓↑
多項式環　⊂循環節をもつ形式的冪級数の加法群＊）⊂形式的冪級数環（完備化されたもの）
という対応になる（＊）加群を環にできるかも。循環節は加法では保たれる。乗法でも保たれる？）

有限小数の積と和の結果は、やはり有限小数だから、環に成るのは良いだろう
有理数を小数展開すると、無限小数なら循環節をもつ。有限小数になる場合もある。有限小数は、しっぽが0の循環節とみれば、循環節をもつ無限小数で纏められる
有理数のコーシー列で、完備化ができて、実数ができる
同様に、有理数を有限小数に置き換えても、コーシー列で、完備化ができて、実数ができる
（例 円周率π＝3.14159・・・ この小数展開から、有限小数のコーシー列ができる）

さて、有限小数のコーシー列、これが有限で終わっては、完備化にならない
だから、有限小数のコーシー列は無限に続かなければならない
しかし、有限小数環の中には、無理数は存在しない。だから、無限列だが、πには決して到達しない（可能無限）

同じように、多項式環を使って、超越関数 例えば 指数関数 e^x に収束するコーシー列を作ることができる
e^x＝Σn=0～∞ (x^n)/n！＝1+ｘ+(x^2)/2！+(x^3)/3！+・・・
この冪級数を使って、多項式のコーシー列を作ることができることは自明だろう

多項式環の中には、超越関数は含まれない
だから、多項式のコーシー列が、指数関数 e^xに到達することはない（可能無限）
しかし、多項式のコーシー列によって完備化され、形式的冪級数環が出来る（有限小数のコーシー列で完備化でき実数が出来るのと同様だ）

ここらは、デリケートで難しい話だ
これが分からない人がいても、不思議では無い！ｗ

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1660377072/624

629: １３２人目の素数さん [] 2022/10/09(日) 21:24:33.27 ID:yhqNfXZG

>>624 追加
>有限小数環⊂有理数環(循環節をもつ無限小数)　⊂実数（完備化されたもの）

下記 "0.999…"は、有限小数環の中では収束しない
収束先の”1”に、無限に近づくが、有限小数環の中で1＝0.999… は、実現できない（可能無限の世界）

しかし、有理数環(循環節をもつ無限小数)内では、1/3＝0.333…が存在するので
両辺を3倍して、1＝0.999… は、実現できる（実無限）

ここらの機微が理解できない人、いるよねｗｗ

https://ja.wikipedia.org/wiki/0.999...
0.999...

数学において"0.999…"は、小数点の後に無限に"9"が続く循環十進小数である。

概要
実数として "0.999…" と"1"は等しくなることを示すことができる（ただし、0.9999など途中で終了する小数は1と等しいと言えない）。この証明は、実数論の展開、背景にある仮定、歴史的文脈、対象となる聞き手などに合ったレベルで、各種段階の数学的厳密性が相応に考慮された、多様な定式化がある[注釈 1]。

超実数
超準解析によって、無限小（およびその逆数）の完全な系列を含んだ数体系が提供される[注釈 6]。

数 0.999… の標準的な定義は 0.9, 0.99, 0.999, … なる数列の極限であるが、それと異なる定義として例えばテレンス・タオが超極限 (ultralimit) と呼ぶ数列 0.9, 0.99, 0.999, … の超冪構成（英語版）に関する同値類 [(0.9, 0.99, 0.999, …)] は 1 より無限小だけ小さい。より一般に、階数 H の無限大超自然数の位置に最後の 9 がくる超実数 uH = 0.999…;…999000…, はより厳密な不等式 uH < 1 を満足する。

このように解釈した "0.999…" は 1 に「無限に近い」。イアン・スチュアートはこの解釈を、「0.999… は 1 よりも『ほんの少しだけ小さい』」という直観を厳密に正当化する「全く合理的な」方法として特徴づけた[24]。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1660377072/629

632: １３２人目の素数さん [] 2022/10/09(日) 23:45:55.17 ID:yhqNfXZG

>>629 追加
可能無限の世界をもう少し掘り下げる
非正則分布>>51
全事象の積分なり和が発散して、「確率の和が1ではありません」>>51

＜1/x の和ないし積分の"発散"について＞
１）1/x の和ないし積分が"発散"することは、下記のyahoo知恵袋の通り有名な事項だ
２）1/x の積分で、1から10＾10 までの積分を考えると、ln(10＾10)＝10*ln(10)
　このとき、1/x＝1/(10＾10) で、単位をメートルとすると、ほぼ水素の原子の半径 約0.1 x 10-9 m＝ 0.1 nm（ナノメートル）になる
３）しかし、x＝10＾10 から∞まで広義積分すると、やはり発散して無限大になる
　下記のyahoo知恵袋のように、一つ一つは殆ど0なのに、和や広義積分は発散する
４）そして、そもそも、自然数なら、減衰する1/xでなく 一様なｘの和（積分）を扱うので、当然の如く発散して非正則になる
　もし決定番号なら、一様どころか、増大している。そういうものの量を可能無限で扱って、確率計算すれば、当然矛盾が起きるのです！ｗ

(参考)
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q13228126168
yahoo知恵袋
yah********さん
2020/7/9 10:26
広義積分1/x (1→∞)が発散するのは何故ですか？
1/xはxが∞で0に収束します。積分はグラフの面積と同じなので、面積が収束するなら広義積分も収束しそうです。広義積分のイメージがつかめないので、教えてください。

ベストアンサー
fordさん
2020/7/9 10:29
イメージのお話をするならば、
Σ(x＝1,∞) (1/x) が収束せずに発散する
ことに近いです。一つ一つが0に収束しても、その合計は発散することがあります。

その他の回答（2件）
ohm********さん
2020/7/9 14:49
S(R)=∫[1~R]dx/x=log(R) ゆえです。
ナイス！

ひことさん
2020/7/9 11:17
あなたがどんなに大きい数Mを言っても、それに対して
∫[1→K] 1/x dx ≧ MとなるようなKを具体的に指定できる。

https://www2.kek.jp/imss/education/hydrogen/h-pedia/
水素の原子の構造
電子を含む水素原子（H0）の半径は、約0.1 x 10-9 m＝ 0.1 nm（ナノメートル） ただし、ボーア（Bohr）の水素原子モデルでは、半径は0.053 x 10-9 m＝ 0.053 nm 。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1660377072/632

上下前次1-新書関写板覧索設栞歴

ｽﾚ情報赤ﾚｽ抽出画像ﾚｽ抽出歴の未読ｽﾚ AAｻﾑﾈｲﾙ

ぬこの手ぬこTOP 0.029s