スレタイ箱入り無数目を語る部屋3

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208: １３２人目の素数さん [] 2022/09/11(日) 07:20:34.43 ID:cFRF8/nb

>>200 つづき

前振りで、”無作為抽出＝ランダム・サンプリング（英: random sampling）”性>>196補足

１）世論調査などでは、電話番号を乱数を利用して、電話を掛けて調査したりする
　しかし、コンピュータは疑似乱数の場合が多く、エクセル関数の乱数も、擬似乱数
２）そして、本質的にランダム・サンプリングが不可能な集合がある
　例えば、素数の集合から、３つの数をランダム・サンプリングすることを考えよう
　ある人が3つ素数を書き下した。しかし、人は有限個しか素数を知らないので、ランダム・サンプリングは出来ない（下記ご参照）
３）同じことが、自然数のランダムサンプリングで起きる
　ある人が3つ自然数を書き下した。それは、2486万2048桁以下の数3つだった。しかし、自然数は無限集合なので、ランダムサンプリングとは言えない
　つまり、非正則な分布>>51に対しては、ランダムサンプリングは原理的にできない
　出来ることは、上記のような作為によるサンプリング（有意抽出>>196）だけ
４）そして、時枝記事で代表列を選ぶことも、
　実は意識せずに作為によるサンプリングをしてしまっているのです

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B9%B1%E6%95%B0%E5%88%97
乱数列
コンピュータでは、基本的には確定的な計算によってしか数列を作ることができない。
用途において必要とする統計的な性質に関して、サイコロなどで作られた乱数列を近似した数列の生成法があり、そのようにして生成された数列を擬似乱数列という。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B4%A0%E6%95%B0
素数
分散コンピューティング・プロジェクト GIMPS により、史上最大の素数の探求が行われている。2021年4月現在で知られている最大の素数は、2018年12月7日に発見された、それまでに分かっている中で51番目のメルセンヌ素数 282589933 ? 1 であり、十進法で表記したときの桁数は2486万2048桁に及ぶ[2]。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1660377072/208

209: １３２人目の素数さん [] 2022/09/11(日) 08:37:11.94 ID:cFRF8/nb

>>208 つづき

１）前レスで、ランダムサンプリングができない非正則な分布>>51について説明した
　この場合、できるのは作為によるサンプリング（有意抽出>>196）のみ
２）これを時枝記事>>1に見ると、人は自然に ”決定番号∈自然数N”だからと
　直感的に100個の数 d1<d2<d3<・・・<d100 を思う（>>162）
　そして、d1,d2,d3,・・・,d100から、作為でこれらに対応する代表元を思い浮かべる
　が、これが作為だという自覚が無い人が大半だ（大学レベルの確率論や確率過程論を習得した人以外では）
３）代表元は、ユークリッド空間の点と考えることができる(>>195)
　また、代表元の集合は、多項式環と見ることが出来て（>>189-190）
　多項式環は、無限次元空間だ(>>190)
４）だから、d1<d2<d3<・・・<d100 を、常にd100 +1次元のユークリッド空間に埋め込むことが出来て
　d100 +1次元のユークリッド空間の超体積V''中では0に潰れているということが分かる>>196
５）d1<d2<d3<・・・<d100から、99個の数を選びその最大値をDmax99としよう>>43
　時枝記事に従って、Dmax99+1番目までの箱を開ける（下記の数学セミナー記事ご参照）
　このとき、二つのことが起きる
　a)問題の列と代表列の比較で、一致部分は既に終わっていて、Dmax99+1番目の箱の数は一致しない！（問題の列の決定番号＞Dmax99+1）
　b)問題の列と代表列の比較で、一致部分はまだ終わっておらず、Dmax99+1番目の箱の数まで一致（問題の列の決定番号＜＝Dmax99+1）
６）上記b)の場合、Dmax99+1番目の箱の数まで、無限の箱の数が一致するのだから、その確率は0だ
　これはちょうど、上記４）項の「超体積V''中では0に潰れている」と整合する
　つまり、b)のケースが起こるのは、作為によるときのみです
　よって、99/100はイカサマ確率です

(参考)
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1620904362/403
時枝問題（数学セミナー201511月号の記事）

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1660377072/209

213: １３２人目の素数さん [] 2022/09/11(日) 13:11:10.73 ID:cFRF8/nb

>>209 補足

よく知られているが
１）選択公理だけでは、確率計算はできない
　一般論として、確率計算は測度論をベースとしたコルモゴロフの確率公理を必要とする>>91
２）同様の議論を、時枝氏自身が出している
　「結果R^N →R^N/～ の切断は非可測になる.」と（下記）
３）また mathoverflow>>1で
　・質問者 Denis氏は、”but other people argue it's not ok, because we would need to define a measure on sequences, and moreover axiom of choice messes everything up.”と記す
　・回答者 DR Pruss氏は、”But we have no reason to think the event of guessing correctly is measurable with respect to the probability measure induced by the random choice of sequence and index i, and we have no reason to think that the conglomerability assumption is appropriate."と記す
　・回答者 DR Huynh氏は、”If it were somehow possible to put a 'uniform' measure on the space of all outcomes, then indeed one could guess correctly with arbitrarily high precision, but such a measure doesn't exist.”と記す
４）過去スレで、ある人が（>>126）https://wc2014.5ch.net/test/read.cgi/math/1466279209/519-532
　”それの証明ってあるかな？”、”おれが問題視してるのはの可測性”
　”非可測であることに目をつぶって計算することの意味をあまり感じないな”
　”むしろ初めの問題にたちもどって，無限列から一個以外を見たとこでその一個は決定できないだろうと考えるのが
　直感的にも妥当だろう”と記す
５）よって、時枝記事は可測性が保証されず、その確率計算に可測性の裏付けがない
　という疑問が、多くの人から出されている
　選択公理だけでは、可測性は保証されない

(参考)
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1620904362/404
時枝問題
さらに、数学セミナー201511月号P37 時枝記事に、次の一文がある
「R^N/～ の代表系を選んだ箇所で選択公理を使っている.
その結果R^N →R^N/～ の切断は非可測になる.
ここは有名なヴィタリのルベーグ非可測集合の例(Q/Zを「差が有理数」で類別した代表系， 1905年)にそっくりである.」
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1660377072/213

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