[過去ﾛｸﾞ] スレタイ 箱入り無数目を語る部屋3 (1002ﾚｽ)
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726: 2022/10/12(水)00:35 ID:TRiiI02m(1/14) AAS
>>718
この定義、よく見たら時枝記事の同値関係とは別物になってるな
(スレ主のおかしさを指摘する分には問題ないが)。
抜きしちゃイカンな。以下で正しく清書する。
727: 2022/10/12(水)00:37 ID:TRiiI02m(2/14) AAS
定義1
s ＝ Σ[k＝0〜∞] s_k x^k と t ＝ Σ[k＝0〜∞] t_k x^k は形式的ベキ級数で、
∃n≧0, ∀k≧n s.t. s_k＝t_k
が成り立つとする。このとき s〜t と書くことにすれば、二項関係 〜 が
K[[x]] 上に定義されたことになる。この 〜 は K[[x]] 上の同値関係になることが確認できる。
定義2
s,t∈K[[x]] は s〜t を満たすとする。よって ∃n≧0, ∀k≧n s.t. s_k＝t_k
省3
728(3): 2022/10/12(水)00:39 ID:TRiiI02m(3/14) AAS
補題1
s,t∈K[[x]] は s〜t を満たすとする。さらに、(s,t)に関するしっぽは「 n しっぽ」かつ「 m しっぽ」だとする。
このとき、n＝m である。すなわち、「 n しっぽ 」の n は (s,t)に関して一意的である。
補題2
(1) s,t∈K[[x]] について、 s〜t が成り立つことと、s−t が多項式であることは同値である。
(2) s,t∈K[[x]] は、s−t が 0 でない多項式とする。その次数を d と置くとき、(s,t)に関するしっぽは「(d＋1)しっぽ」である。
(3) s,t∈K[[x]] は、s−t が 0 という多項式だとする。このとき、(s,t)に関するしっぽは「 0 しっぽ」である。
省4
729: 2022/10/12(水)00:41 ID:TRiiI02m(4/14) AAS
さて、ここからが本題。スレ主は「しっぽを無限小にできる」と言っている。
これが本来の意味での無限小なら、スレ主は次のように主張していることになる。
・ ある s,t∈K[[x]] とある無限大超自然数 n* が存在して、(s,t)に関するしっぽは「 n* しっぽ 」である。
しかし、「 n しっぽ 」の n は必ず正整数なので、これはあり得ない。従って、スレ主が言うところの「無限小」は
単なるレトリックであり、「望むだけ小さくできる」という意味に過ぎない(エセ無限小)。となれば、スレ主は実際には
補題3(>>728)
任意の s∈K[[x]] と任意の(大きな) m≧0 に対して、ある t∈K[[x]] が存在して、(s,t)に関するしっぽは「 m しっぽ 」である。
省5
730(1): 2022/10/12(水)00:44 ID:TRiiI02m(5/14) AAS
ちなみに、スレ主は K[[x]] での極限を考えるのが好きらしいので、そのようなケースを考えてみよう。
まず、s,t ∈ K[[x]] が s〜t を満たさない場合を考察する。m≧0 に対して
t^{m} ：＝ Σ[k＝0〜m−1] t_k x^k＋(s_m＋1)x^m＋Σ[k＝m＋1〜∞] s_k x^k
と置けば、これは形式的ベキ級数であり、s 〜 t^{m} が成り立ち、(s, t^{m})に関するしっぽは「 m しっぽ 」である。
さて、t^{m} について、完備化されたK[[x]]の構造のもとで m→∞ の極限を考えると、
lim[m→∞] t^{m} ＝ t が成り立つことが確認できる。一方で、
(1) (s, t^{m})に関するしっぽは「 m しっぽ 」
省6
731: 2022/10/12(水)00:46 ID:TRiiI02m(6/14) AAS
では、s〜t が成り立つ場合はどうか？この場合、(s,t)に対して「しっぽ」が定義できる。
まず、s−t が 0 でない多項式の場合を考える。よって、s−t＝Σ[k＝0〜n_1] a_k x^k, a_{n_1}≠0
という形に表せる。特に、(s,t)に関するしっぽは「 (n_1＋1)しっぽ 」である。一方で、
(1) (s, t^{m})に関するしっぽは「 m しっぽ 」
なのだった。この(1)で m→∞ とすれば、t^{m} → t に注意して、
・ (s, t)に関するしっぽは「 ＋∞ しっぽ 」である
省8
732: 2022/10/12(水)00:47 ID:TRiiI02m(7/14) AAS
以上により、いずれの場合でも、(1)の文章は m→∞ の極限と交換可能ではない。
これはどういうことかと言うと、K[[x]] の完備性を用いたスレ主の屁理屈は意味を成さないということ。
誤解を恐れずに表現すれば、
・ K[[x]] が完備であっても、"(1)の文章は m→∞ の極限に関して完備ではない"
ということ。スレ主は K[[x]] の完備性を用いて時枝記事に反論しようと目論んでいたが、最後の最後で
・ "(1)の文章が m→∞ の極限に関して完備ではない"
という大きな壁に阻まれて、スレ主の目論見は失敗するのである。
省4
733: 2022/10/12(水)00:50 ID:TRiiI02m(8/14) AAS
あるいは、スレ主は
「極限を取っているのではない。m はいくらでも大きくできると言っているだけだ」
と反論するかもしれない。この場合、スレ主が言っていることは
補題3(>>728)
任意の s∈K[[x]] と任意の(大きな) m≧0 に対して、ある t∈K[[x]] が存在して、(s,t)に関するしっぽは「 m しっぽ 」である。
ということに過ぎない。スレ主は、この補題3を "無限小" というレトリックで言い換えているだけ、ということになる。
では、上記の補題3の性質があると、時枝記事のどこが破綻するのか？いや、どこも破綻しない。
省4
734: 2022/10/12(水)01:02 ID:TRiiI02m(9/14) AAS
細かいことだが、添え字が若干ズレてたな。
>>728
× s＝Σ[k＝0〜∞] s_k x^k と表したとき、t ＝ (s_m＋1)x^m＋Σ[k＝m＋1〜∞] s_k x^k と置けばよい。
〇 s＝Σ[k＝0〜∞] s_k x^k と表したとき、t ＝ (s_{m−1}＋1)x^{m−1}＋Σ[k＝m〜∞] s_k x^k と置けばよい。
>>730
× t^{m} ：＝ Σ[k＝0〜m−1] t_k x^k＋(s_m＋1)x^m＋Σ[k＝m＋1〜∞] s_k x^k
〇 t^{m} ：＝ Σ[k＝0〜m−2] t_k x^k＋(s_{m−1}＋1)x^{m−1}＋Σ[k＝m〜∞] s_k x^k
746: 2022/10/12(水)11:38 ID:TRiiI02m(10/14) AAS
>>741
＞つまり、100個の代表を考えるなら、
＞∪K^n (n∈N)から100個の元を選べば済む
＞だから、
＞選択公理を使わないで済ますことができる
まさしく選択公理を使わずに時枝記事と同等のゲームを記述したのが>>581-583。
しかもスレ主お得意の多項式環・ベキ級数環まで忠実に再現している。
省1
747: 2022/10/12(水)11:40 ID:TRiiI02m(11/14) AAS
>>741
＞「発散する非正則分布で、有限のd1,d2,・・d100 を使うと、ランダム性（無作為性）が成り立たない。
＞ だから、確率計算になってない」
"無限小" が云々とかいうスレ主の詭弁は>>727-734で完全に論破したので、これでは困ったスレ主は、
再び「時枝記事は非正則分布を使っている」という詭弁に里帰りすることにしたようである。
だが、それも無駄である。時枝記事で使われている分布は
・ {1,2,…,100} 上の一様分布
省7
748: 2022/10/12(水)11:47 ID:TRiiI02m(12/14) AAS
>>741
＞つまり、非正則分布の代表例として、自然数Ｎ＝{1,2,・・,n,・・}を考える
＞これは明らかに、中央値や平均値が無限大に発散しているし、分散も発散している
時枝記事では、そのような非正則分布は使ってない。
＞一方、有限のd1,d2,・・d100は
＞中央値や平均値も有限で、分散も有限だから
ほらね、ここがスレ主の勘違い。スレ主は {d1,d2,…,d100} 上の一様分布が使われていると勘違いしている。
省8
749(1): 2022/10/12(水)12:04 ID:TRiiI02m(13/14) AAS
「100枚の封筒」の設定における確率計算(>>690-697)を例にとる。>690の設定のもとで、
この設定を記述する確率空間は>691のように定義できて、「回答者が勝利する」という事象は
A ＝ { (d_1,d_2,…,d_100, i)∈Ω｜d_i≦max{d_j｜j≠i, 1≦j≦100} } (>692)
で定義される。よって、回答者の勝率は P(A) と書ける。>693 で書いたように、
d＝(d_1,…,d_100)∈N_100 を固定するごとに、A の d切片 A_d は
A_d ＝ {i∈I｜(d,i)∈A} ＝ {i∈I｜d_i≦max{d_j｜j≠i, 1≦j≦100} }
と表現できて、i ∈ I＝{1,2,…,100} の中で d_i＞max{d_j｜j≠i, 1≦j≦100} を満たす i は高々1つ。
省3
750: 2022/10/12(水)12:13 ID:TRiiI02m(14/14) AAS
>>690の設定では、封筒の中身(d1,d2,…,d100)に上限はない。そして、>>749の確率計算では、
出題する d＝(d_1,…,d_100) を固定した上で η(A_d) ≧ 99/100 を導出しており、
これを経由して P(A) ≧ 99/100 を導出している。従って、スレ主の屁理屈によれば、
「有限の (d_1,…,d_100) を固定した確率計算は、非正則分布とは確率論的に全くの別物なので、
>749の確率計算はインチキだ。回答者の実際の勝率はゼロだ」
ということになってしまう。しかし、>749の確率計算にインチキの要素はどこにもない。
なぜなら、そもそも非正則分布なんぞ使ってないからだ(使われる確率空間は>691で全て明記してある)。
省10
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