[過去ﾛｸﾞ] スレタイ 箱入り無数目を語る部屋3 (1002ﾚｽ)
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321: 2022/09/18(日)21:04 ID:ldv25uGN(23/26) AAS
次に、「そのような t がただ1つ取れる」とは、次の2条件がともに成り立つことを指す。

(1) ∀x∈R^N, ∃t∈T_0 s.t. x〜t.
(2) ∀x∈R^N, ∀t_1,t_2∈T_0 s.t. [ [ x〜t_1 かつ x〜t_2 ] ⇒ t_1＝t_2 ].

この(1),(2)は、T_0 が完全代表系であることの定義をそのまま書き下しただけ。そして、この(1),(2)により、

「 x と同値な実数列 y は無限にあるので、どのような y を採用するかによって、決定番号 d(x) の値も変わってしまう」

というスレ主の反論は却下される。なぜなら、d(x) の定義により、ここで採用すべき y は

{ t∈T｜x〜t }

という集合の中から選ばなければならない。もしこの集合が2元以上含んでいたとすると、
その中から異なる2元 t_1, t_2 ∈{ t∈T｜x〜t } を取り出せば、
y＝t_1 を採用してもいいし、y＝t_2 を採用してもいいことになる。
すると、確かにスレ主の言うとおり、d(x) の値は y ごとに変わってしまう。

ところが実際には、上記の(1),(2)によって、{ t∈T｜x〜t } は「 1元集合 」になるので、
この集合から異なる複数のtを取り出すことはできず、従って、y には自由度がない。
よって、d(x) は一価関数となる。すなわち、スレ主が危惧するような「d(x)の値も変わってしまう」
という事態は起こらない。

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