ガロア第一論文及びその関連の資料スレ

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172: １３２人目の素数さん [sage] 2023/02/04(土) 09:14:32.79 ID:FXdrMrMW

>>171
つづき

ここでモジュライ (moduli) という言葉の語源につ
いてすこし触れておきます. moduli はラテン語の
modulus の複数形で測定の標準単位を意味します.
ラテン語の modulus はギリシャ建築の柱の基底部の
半径を基準とした尺度であった, という説もありま
す. この語感にふさわしい「モジュライ理論」の代
表格は楕円曲線の理論です. その場合には, 基準の尺
度とも言うべきモジュライ不変量 j があります. 現
代的な理論にはそのような不変量を見つけるのが難
しくなりました.
モジュライ空間の別の例をあげます. V を長さ 5 の
横ベクトルのなす 5 次元複素ベクトル空間とします:
V = {(x1, x2, x3, x4, x5); xi ∈ C}.
この V の中の 2 次元複素部分ベクトル空間 (以後
2 次元部分空間と言う) をすべて集めて
Gr(5, 2) = {W ⊂ V ; W は 2 次元部分空間 }
と定義します. この空間をグラスマン多様体と呼び
ます. これは「モジュライ空間」のひとつの例を与
えます. つまり Gr(5, 2) は V の中の 2 次元部分空間
のなす「モジュライ空間」です.

4 安定性とモジュライ空間
定理 4.4 (Donaldson) コンパクトな複素 2 次元多様
体 X の (下部構造としての可微分実 4 次元多様体)
上の自己双対ヤン ・ ミルズ接続 (で表されるインスタ
ントンと呼ばれる場) のモジュライ空間は, X 上の階
数 2 の「GIT-安定な」ベクトル束のモジュライ空間
と一致する.
ソリトンが空間方向に粒子性を持った波を表すよ
うに、インスタントンとは時間方向に粒子性を持っ
た (2,2) 行列で表示された電磁場のようなものです。
Donaldson はさらに強く, X の単なるホモトピー不
変量ではない, 可微分多様体としての不変量 (Donaldson 多項式) を与えています.
この Donaldson 理論は, その後 Seiberg-Witten 理論によってさらに深
められ, 可微分実 4 次元多様体について大変深い研究が現在も進んでいます.
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1615510393/172

792: １３２人目の素数さん [] 2023/02/25(土) 19:46:26.79 ID:ZowC59iz

>>791
つづき

極小モデル理論の初期段階から
たくさんのアイデアを出し続けていた Shokurov が 4 次元の極小モデルの構成を完成させたと主張し
たのは 2000 年頃であったと思う ([Sh4]). Shokurov の論文 ([Sh2], [Sh3], [Sh4]) はアイデアの宝庫
であるが, その難解さも格別である. ケンブリッジのニュートン研究所での Shokurov の論文 [Sh4] の
解読セミナー [BOOK]1) を経て, ここ数年, Hacon と McKernan を中心に急激な発展が再び始まっ
た ([HM3], [BCHM]). 数年前までは当分解決不能と思われていた大予想が次々に陥落しているので
ある.

今回はその大発展の一端を紹介したいと思う. この 20 年間の Shokurov のアイデアと, Siu に
よる乗数イデアルを用いた巧妙な拡張定理の手法 [Si1] の出会いが, 今回の大発展の切っ掛けである.
手っ取り早く大結果のひとつを述べておく.
定理 1 ([BCHM]) X を複素数体上定義された非特異射影代数多様体とする. このとき, 標準環
Lm>=0 H0 (X, OX(mKX)) は有限生成次数付き C-代数である.
もちろん X の次元は任意である. 代数幾何学を少し勉強したことのある人なら, 上の定理の強力さ
が分かると思う. 以下すべて複素数体 C 上で考えることにする. 特異点解消定理とコホモロジーの消
滅定理を自由に使うには, 基礎体の標数が零である必要があるからである. 1 章の残りでは [BCHM]
の主定理と主な系を述べる. 2 章では古典的な極小モデル理論, 対数的極小モデル理論, そしてスケー
ル付き極小モデル理論を解説する. 2.2 に必要な用語をまとめてある. 3 章では pl フリップと呼ばれ
る特別なフリップの存在問題について解説する. このフリップの存在定理が [HM3] の主結果である.
4 章は少し話題を変えて, 乗数イデアルとその応用として得られた結果のいくつかを説明する. 最近の
極小モデル理論の発展の背後にある話題である. 5 章で [BCHM] の証明のからくりについて論じる. 6
章に [BCHM] で実際に証明されたことを集めておいた. 最後の 7 章では, 今後の課題と極小モデル理
論関連の最近の結果のいくつかを述べる.
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1615510393/792

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