ガロア第一論文及びその関連の資料スレ

[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文及びその関連の資料スレ (1002ﾚｽ)
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55: １３２人目の素数さん [sage] 2022/12/19(月) 08:24:45.57 ID:KRlSoN+A

>>54
つづき

・Galois theory notes （下記PDF）
・Field theory: homework sets

（下記PDFに冒頭の定理の証明がある）
https://sites.pitt.edu/~gmc/algebra/galoistheory.pdf
GALOIS THEORY: THE PROOFS, THE WHOLE PROOFS, AND
NOTHING BUT THE PROOFS
MARK DICKINSON
Contents
1. Notation and conventions 1
2. Field extensions 1
3. Algebraic extensions 4
4. Splitting fields 6
5. Normality 7
6. Separability 7
7. Galois extensions 8
8. Linear independence of characters 10
9. Fixed fields 13
10. The Fundamental Theorem 14

I’ve adopted a slightly different method of proof from the textbook for many of
the Galois theory results. For your reference, here’s a summary of the main results
and their proofs, without any of that pesky history and motivation?or distracting
examples?to get in the way. Just the proofs1
. Almost all of the hard work lies
in three main theorems: Corollary 7.9 (a splitting field of a separable polynomial
is Galois), Theorem 8.1 (linear independence of characters), and Theorem 9.1 (the
degree of K over KH is bounded by the order of H).

1 and the occasional definition or two. Not to mention the theorems, lemmas and so forth.
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1615510393/55

128: １３２人目の素数さん [] 2023/02/01(水) 12:06:57.57 ID:sQMfVFbD

>>119
>笠原乾吉 (津田塾大学)

笠原乾吉先生について
（参考）
https://researchmap.jp/blogs/blog_entries/view/81393/5a82ec648b8a4cdc822859dbdef278a7?frame_id=406408
更新日: 2022/11/08
新井 仁之
Hitoshi Arai
ディーバーな関数論．笠原乾吉著『複素解析』（ちくま学芸文庫）
投稿日時 : 2016/08/23

ちくま学芸文庫からさまざまな数学書が文庫化されていることは今更ここで言うまでもないことですが，今月，また新たに一冊加わりました．
　笠原乾吉著『複素解析　1変数解析関数』．
　今回も期待を裏切らない渋い選択です．本書はもともと実教出版から1978年に出版されたもので，私も学生時代お世話になりました．

【ヘルマンダリズムと本書】
　かつて故倉田令二朗氏は数学セミナーでの伝説的な連載『多変数複素関数論を学ぶ』（1977-78）において，L. ヘルマンダーの多変数複素解析の方法を「ヘルマンダリズム」と呼びました．笠原著『複素解析』はそのヘルマンダリズムの雰囲気を醸し出している入門書と言えるでしょう．ヘルマンダリズムというのは，岡潔氏の仕事を非斉次コーシー・リーマン方程式という連立偏微分方程式を解くことに帰着させる主義を意味するものです．本書でも第5章では1変数のクザンの加法的問題が非斉次コーシー・リーマン方程式（後述）を解くことにより証明されています．クザンの加法的問題は，与えらえた極と主要部を有する有理型関数の存在を保証するミッタグ・レフラーの定理を一般化したものです．1変数複素解析の教科書でクザンの加法的問題を取り上げているものは極めて珍しいといえます．
　ヘルマンダリズムといえば，創始者のヘルマンダー氏の本 "An Introduction to Complex Analysis in Several Variables" （1966）があり，その第1章が1変数複素解析に充てられています．

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1615510393/128

166: １３２人目の素数さん [sage] 2023/02/04(土) 00:07:00.57 ID:FXdrMrMW

>>165 関連
>Instanton
> 4d supersymmetric gauge theories

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B5%E3%82%A4%E3%83%A2%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%83%89%E3%83%8A%E3%83%AB%E3%83%89%E3%82%BD%E3%83%B3
サイモン・ドナルドソン
1982年に四次元ユークリッド空間において異種微分構造が存在することを、Yang-Millsゲージ理論を用いて示し、当時の数学界に衝撃を与えた。この業績により1986年にフィールズ賞を受賞した
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%89%E3%83%8A%E3%83%AB%E3%83%89%E3%82%BD%E3%83%B3%E4%B8%8D%E5%A4%89%E9%87%8F
ドナルドソン不変量
ドナルドソン理論 (Donaldson theory) は、インスタントン（英語版）を用いた滑らかな4次元多様体の研究である。この理論は、コンパクト単連結4次元多様体の2次コホモロジー群上の可能な二次形式を制限してドナルドソンの定理を証明したサイモン・ドナルドソン (1983) により始められた。
ドナルドソン理論の結果の多くは微分構造を持つ多様体に依存し、4次元位相多様体に対しては正しくない。
ドナルドソン理論の定理の多くは今ではサイバーグ・ウィッテン理論（英語版）を用いると容易に証明できる。
関連項目
クロンハイマー・ムロフカ基本類（英語版）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A8%E3%82%AD%E3%82%BE%E3%83%81%E3%83%83%E3%82%AF_R4
エキゾチック R^4
エキゾチック R^4 とは、4次元ユークリッド空間 R^4 に同相であるが、微分同相ではない4次元可微分多様体のこと。
エキゾチック R^4 である最初の例は、1982 年にマイケル・フリードマン等により、位相的な4次元多様体に関するフリードマンの定理と、微分可能な4次元多様体に関するサイモン・ドナルドソンとの対比を使用して発見された。[1][2]クリフォード・タウベスにより、R^4の非微分同相な微分可能構造の連続体が存在することが示されている。[3]

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1615510393/166

789: １３２人目の素数さん [] 2023/02/25(土) 19:32:27.57 ID:ZowC59iz

>>788 追加
https://www.jstage.jst.go.jp/article/sugaku/72/1/72_0721028/_article/-char/ja/
J-STAGEトップ/数学/72 巻 (2020) 1 号/書誌
https://www.jstage.jst.go.jp/article/sugaku/72/1/72_0721028/_pdf/-char/ja
フィールズ賞受賞者紹介
Caucher Birkar氏の業績
??数学的帰納法のオンパレード??
權業 善範
1 導入
最初に曲面論の復習から始める．S を非特異複素射影曲面とする．このとき，古典的な Castelnuovo
の収縮定理により (?1)-曲線1) を見つけると何か新しい非特異射影複素曲面 S が取れて S → S は
一点爆発となる．これを繰り返して，(?1)-曲線がない非特異射影複素曲面を構成するのが古典的な極
小モデル理論である．今回の Birkar 氏の仕事はこの古典理論の高次元化の延長線上にある．
高次元の極小モデル理論とは，フリップと因子的収縮のいくつかの双有理写像の合成 (極小モデル
プログラム，略して MMP) を用いることで，代数多様体を次の三種類に双有理的に分ける分類論で
ある：(1) ファノ多様体によるファイバー空間 (特に森ファイバー空間と呼ばれるファノファイバー
空間の特別なもの)，(2) カラビ・ヤウ多様体によるファイバー空間2)，(3) 標準モデル．一般次元に
おいては，まだ未解決であり，双有理幾何学の大きな問題として残っている．最初の代数多様体が非
特異多様体であったとしても，MMP のアウトプットとして得られる上記三種類の多様体が特異点を
持ちうることは，1970 年頃より上野氏の例 [23, 16 章] として知られている．したがって我々はその
アウトプットは常に特異点を許して理論を構築しなければならない．幸運にも考えるべきその特異点
は，端末特異点と呼ばれる特異点論においては非常に良い性質を持つ特異点であることが，この極小
モデル理論を動機に後々に知られるようになった．また次元による帰納法，分岐被覆による帰着など
のテクニカルな要請により，飯高プログラムにおける対の特異点および，対数的標準特異点 (LC)，ま
たは川又対数的端末特異点 (KLT) で考えることが最近では主流である．MMP はそういうクラスで
もうまくいくことが知られるようになった (cf. [10])．

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1615510393/789

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