ガロア第一論文及びその関連の資料スレ

[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文及びその関連の資料スレ (1002ﾚｽ)
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63: １３２人目の素数さん [sage] 2023/01/02(月) 23:41:41.39 ID:qZFMMNjk

>>62
>「ガロア群」と言わずに、「代数拡大の自己同形群」といったらだめなの？

レスありがとう
お答えします

１）まず、「ガロア群」は、単なる代数拡大ではまずく、ガロア拡大（下記）に対しての自己同形群でなければならない
２）この説明は、下記のwikipedia ガロア群 にあるので ご参照請う
３）分かり易い例が、代数拡大 Q(√2)/Q は、ガロア拡大で、Gal(Q(√2)/Q)と書けて、恒等写像および、√2と-√2を入れ替える写像からなる
４）一方、2の3乗根 2^1/3 による拡大 Q(2^1/3)では、正規拡大でない（x^3 ? 2の根を全て含んでいない）ため、ガロア拡大ではない
　実際、K＝Q(2^1/3)で、代数拡大の自己同形群 Aut(K/Q)は自明な群（群{e}）になる
　しかし、x^3 ? 2の根の全ての添加、それは 2^1/3、2^1/3ω、2^1/3ω^2 の3つで、2^1/3とωの二つの添加で足りるから（ωは1の3乗根）
　拡大体L = Q(2^1/3,ω)は、多項式x^3 - 2のQ上の分解体となり、自己同型群は、ガロア群で、Gal(Q(2^1/3,ω)/Q)と書けて、3次の置換群 S3と同型となる

この程度の説明で分かるかな
詳しくは、下記を読んでください
分からなければ、また質問してね
　
(参考)（原文見る方が見やすいよ）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%82%A2%E7%BE%A4
ガロア群
定義
体の拡大のガロア群
E を体 F の拡大体とし、その体の拡大を E/F と表わすこととする。また E/F の自己同型を、 F の各元を固定する E の自己同型と定義する。このとき、 E/F の自己同型全体は群を成す。これを Aut(E/F) と表わす。 E/F がガロア拡大であるなら、 Aut(E/F) を拡大 E/F のガロア群と呼び、 Gal(E/F) で表わす。 E/F がガロア拡大でない場合は、 E のガロア閉包 G に対する自己同型群 Aut(G/F) を、E/F のガロア群と定義することもある。

多項式のガロア群
体 E が多項式 f の F 上の分解体（ f の根をすべて含む最小の F の拡大体）であるとき、 Gal(E/F) を f の F 上のガロア群と呼ぶ。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1615510393/63

949: １３２人目の素数さん [] 2023/03/01(水) 22:54:51.39 ID:WuFVYFkU

>>948
つづき

Historical terminology
In the 19th-century theory of elliptic functions, 1-forms with logarithmic poles were sometimes called integrals of the second kind (and, with an unfortunate inconsistency, sometimes differentials of the third kind).

For example, the Weierstrass zeta function associated to a lattice
Λ in C was called an "integral of the second kind" to mean that it could be written

ζ(z)=σ '(z)/σ(z)
In modern terms, it follows that
ζ(z)dz=σ(z)/σ is a 1-form on C with logarithmic poles on Λ , since Λ is the zero set of the Weierstrass sigma function σ(z).

Mixed Hodge theory for smooth varieties
Over the complex numbers, Deligne proved a strengthening of Alexander Grothendieck's algebraic de Rham theorem, relating coherent sheaf cohomology with singular cohomology.

Notes
[1] Deligne (1970), section II.3.
References
Deligne, Pierre (1970), Equations differentielles a points singuliers reguliers, Lecture Notes in Mathematics, vol. 163, Springer-Verlag, doi:10.1007/BFb0061194, ISBN 3540051902, MR 0417174, OCLC 169357

https://manabitimes.jp/math/923
高校数学の美しい物語
対数微分法のやり方と例題～x^x の微分 2021/03/07
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1615510393/949

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