ガロア第一論文及びその関連の資料スレ

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678: １３２人目の素数さん [] 2023/02/21(火) 12:02:02.32 ID:8nIQkhq9

>>676

追加

https://en.wikipedia.org/wiki/Lagrange%27s_theorem_(group_theory)
Lagrange's theorem (group theory)

History
Lagrange himself did not prove the theorem in its general form. He stated, in his article Reflexions sur la resolution algebrique des equations,[3] that if a polynomial in n variables has its variables permuted in all n! ways, the number of different polynomials that are obtained is always a factor of n!. (For example, if the variables x, y, and z are permuted in all 6 possible ways in the polynomial x + y - z then we get a total of 3 different polynomials: x + y - z, x + z - y, and y + z - x. Note that 3 is a factor of 6.) The number of such polynomials is the index in the symmetric group Sn of the subgroup H of permutations that preserve the polynomial. (For the example of x + y - z, the subgroup H in S3 contains the identity and the transposition (x y).) So the size of H divides n!. With the later development of abstract groups, this result of Lagrange on polynomials was recognized to extend to the general theorem about finite groups which now bears his name.

In his Disquisitiones Arithmeticae in 1801, Carl Friedrich Gauss proved Lagrange's theorem for the special case of
(Z/pZ)^*, the multiplicative group of nonzero integers modulo p, where p is a prime.[4] In 1844, Augustin-Louis Cauchy proved Lagrange's theorem for the symmetric group Sn.[5]

Camille Jordan finally proved Lagrange's theorem for the case of any permutation group in 1861.[6]

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1615510393/678

775: １３２人目の素数さん [] 2023/02/25(土) 10:36:40.32 ID:ZowC59iz

>>752 追加
>・そもそも行列式は、何を表しているのか？

行列式とは
貴田 研司
・定理（線形変換）
　n 行列 A が線形変換の表現行列のとき
　① det Aの絶対値は，この線形変換による体積の拡大率を表す．
・行列式とは本質的には，交代・多重線形写像である（行列式の一意性）

https:
//www.u-tokai.ac.jp/uploads/sites/12/2021/03/PP92-99.pdf
東海大学紀要情報通信学部
Vol.10,No.1,2017,pp.92-99

大学初年次における数学教材の提案（その 9）
～行列式の定義～
貴田 研司
あらまし
まず，行列式を平行多面体の体積として幾何学な定義をしたのち，線形変換の表現行列の行列式の意味について解
説する．さらに，行列式の公理を紹介し，行列式は，本質的には交代性と多重線形性をもつ写像であり，一意性をも
つことについて述べる．

2. 行列式の幾何学的定義

定理（線形変換）
n 行列 A が線形変換の表現行列のとき
① det Aの絶対値は，この線形変換による体積の拡大率を表す．
② det Aの符号は，この線形変換が空間の向きを保つか，それとも逆転するかを表す．

3. 行列式の公理
行列式とは本質的には，交代・多重線形写像である．この章では，行列式の第 1 定義（implicit な定義）に
ついて述べる．

定理（行列式の一意性）
上記の行列式関数 F は，ただ一つだけ存在する．

まず具体的に，2 次行列の場合について証明する．

4. おわりに
本論文では，最初に行列式の定義ありきの解説とした．もっと遡ると，行列式の起源は，連立一次方程式の一
般的解法にあり，1678 年のライプニッツの書簡が初出と言われている．今現在よく知られている行列式の定義
が，どのようにして導き出されたのかについては，髙木貞治著「代数学講義 改訂新版」4 )を参照されたい．
参考文献
1) 小寺平治「明解演習 線形代数」共立出版，1982
2）齋藤正彦「線型代数入門」東京大学出版会，1966
3）金子晃「線形代数講義」サイエンス社，2004
4）髙木貞治「代数学講義 改訂新版」共立出版，1965

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1615510393/775

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