[過去ﾛｸﾞ] 純粋・応用数学（含むガロア理論）3 (1002ﾚｽ)
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681(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/08/26(水)07:24 ID:mnW83lWq(1/12) AAS
>>676
ID:LqiSh/C2さん、どうもです
私の数学メモを読んでくれてありがとう
いま、下記
(>>642より）
>外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
>Division ring
省11
682(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/08/26(水)07:33 ID:mnW83lWq(2/12) AAS
>>681 余談
>外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
>In fact the converse is also true and this gives a characterization of division rings via their module category: A unital ring R is a division ring if and only if every R-module is free.[7]"
>外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
>斜体 (数学) division ring
>斜体であるという性質は加群の圏の性質から特徴づけることもできる。環 R が斜体である必要十分条件はすべての左 R 加群が自由加群であることである[5]。
いま気付いたが、英語版だと A unital ring R、日本語版だと 環 R
省6
687(1): 2020/08/26(水)17:40 ID:iiai9c8f(2/6) AAS
>>675
＞Rが一般の環などになると、基底を持つ持たないは、結構ややこしいということですね
単に◆yH25M02vWFhP が、「一次独立」を全然理解してないだけ
■環上の加群
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
抽象代数学における環上の加群（かぐん、英: module）とは、ベクトル空間を一般化した概念で、
係数（スカラー）を体の元とする代わりに、より一般の環の元としたものである。
省37
690(1): 2020/08/26(水)17:53 ID:iiai9c8f(3/6) AAS
>>681
＞「零因子を持たず」 と、「0以外の元に逆元が存在して、積が群になる」とが、関係している
まず、一般の環について「零因子を持たない」と「0以外の元に逆元が存在して、積が群になる」は同値ではありません
整数環がいい例です 零因子はありませんが、１とー１以外の元には逆元がありません
Ｚ加群の中にはねじれ元をもつものがある（つまり自由加群でない）ので
そのことからも、Ｚが体でないことが分かります（回りくどいですが）
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