[過去ﾛｸﾞ] 純粋・応用数学（含むガロア理論）3 (1002ﾚｽ)
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674(4): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/08/25(火)16:00 ID:2yNZ8A8t(12/13) AAS
>>673
つづき
加群
詳細は「環上の加群」を参照
ベクトル空間が体に対するものであるように、加群 (英: modules) の概念は環に対するものである。これはベクトル空間の公理において体 F とするところを環 R で置き換えることで得られる[101]。加群の理論はベクトル空間のそれと比べて（環の元に必ずしも乗法逆元が存在しないことで）より複雑なものになっている。
関連項目
・ベクトル空間代数（英語版） - 体の概念を予め要求せずにベクトル空間を定義する、ベクトル空間の抽象代数学的取扱い。
省14
675(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/08/25(火)16:56 ID:2yNZ8A8t(13/13) AAS
>>674 補足
”質問： ベクトル空間が基底をもたないとはどういうことですか？基底をもたないということがあるのですか？”
余談ですが、実数体Rベースの有限次元ベクトル空間だと、基底は必ずあるのですね
Rが体や斜体ではない一般の環などになると、基底を持つ持たないは、結構ややこしいということですね
なるほど
（参考）
外部ﾘﾝｸ:www.math.titech.ac.jp
省19
678: 2020/08/25(火)21:33 ID:lTsO94ZA(2/3) AAS
>>674の基底の定義は、有限次元の場合しか考えてない
無限次元線形空間を扱うには、基底が無限集合となる場合も認めなければならない。
すなわち、（有限または無限の）部分集合 B ⊂ V が基底であるとは、
・任意の有限部分集合 B0 ⊆ B が線型独立性を持つ。
B0={v1, …, vn} として
a1, …, an ∈ F に対して a1v1 + … + anvn = 0 が成り立つならば、
a1 = … = an = 0 でなければならない。
省6
692(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/08/26(水)18:32 ID:xagmva3J(5/8) AAS
>>674の基底の定義は、有限次元の場合しか考えてない
>無限次元線形空間を扱うには、基底が無限集合となる場合も認めなければならない。
確かに、>>675より
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.math.titech.ac.jp
線形代数学第二B 講義資料5 山田光太郎 東工大 2010 年11 月11 日(2010 年11 月11 日訂正)
(抜粋)
P7
省23
746(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/08/27(木)17:19 ID:NVBIr97s(9/12) AAS
>>692
">>674の基底の定義は、有限次元の場合しか考えてない
>無限次元線形空間を扱うには、基底が無限集合となる場合も認めなければならない。"
追加
参考：「無限次元と有限次元、ハメル基底と正規直交基底とフーリエ級数論」
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
基底 (線型代数学)
省10
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