[過去ﾛｸﾞ] 純粋・応用数学（含むガロア理論）3 (1002ﾚｽ)
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668(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/08/25(火)15:05 ID:2yNZ8A8t(6/13) AAS
>>667
つづき
いくつかの事実
有限生成加群の部分加群は一般には有限生成でない。例えば、可算個の変数をもつ多項式環 R = Z[X1, X2, ...] を考えよう。R 自身は有限生成 R-加群である（{1} が生成集合）。定数項が 0 の多項式すべてからなる部分加群 K を考えよ。すべての多項式は係数が0でないような有限個の項のみからなるから、R-加群 K は有限生成でない。
一般に、加群は、すべての部分加群が有限生成であるときにネーター加群と呼ばれる。ネーター環上の有限生成加群はネーター加群である（実はこの性質がネーター環を特徴づける）。ネーター環上の加群が有限生成であるのはそれがネーター加群であるとき、かつそのときに限る。これはヒルベルトの基底定理と似ているが、同じではない。これはネーター環 R 上の多項式環 R[X] はネーター環であるというものである。いずれの事実によってもネーター環上の有限生成代数はまたネーター環である。
より一般に、代数（例えば環）は有限生成加群であれば有限生成代数（英語版）である。逆に、有限生成代数が（係数環上）整であれば、有限生成加群である。（詳細は整拡大参照。）
可換環上の有限生成加群
省3
669(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/08/25(火)15:08 ID:2yNZ8A8t(7/13) AAS
>>668
つづき
生成ランク
単項イデアル整域 (PID) 上の有限生成加群が捩れなし（英語版） (torsion-free) であることと自由であることは同値である。
これはPID上の有限生成加群の構造定理の結果である。
その基本的な形は、PID 上の有限生成加群はねじれ加群と自由加群の直和であるというものである。
しかしそれは直接次のようにも示せる。
省10
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