[過去ﾛｸﾞ] 純粋・応用数学（含むガロア理論）3 (1002ﾚｽ)
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476(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/08/21(金)07:48 ID:WrfyH/cJ(10/22) AAS
>>475
つづき
有限環
詳細は「有限環（英語版）」を参照
自然数 m が与えられたとき、m 元からなる集合には、いったいいくつの異なる（必ずしも単位的でない）環構造が入るのかと考えるのは自然である。まず、位数 m が素数のときはたった二種類の環構造しかない（加法群は位数 m の巡回群に同型）。すなわち、一つは積がすべて潰れる零環であり、もう一つは有限体である。
有限群としてみれば、分類の難しさは m の素因数分解の難しさに依存する（有限アーベル群の構造定理）。例えば、m が素数の平方ならば、位数 m の環はちょうど11種類存在する[11]。一方、位数 m の「群」は二種類しかない（いずれも可換群）。
有限環論が有限アーベル群の理論よりも複雑なのは、任意の有限アーベル群に対してそれを加法群とする少なくとも二種類の互いに同型でない有限環が存在することによる（Z/mZ のいくつかの直和と零環）。一方、有限アーベル群を必要としない方法では有限環のほうが簡単なこともある。例えば、有限単純群の分類は20世紀数学の大きなブレイクスルーの一つであり、その証明は雑誌の何千ページにも及ぶ長大なものであったが、他方で任意の有限単純環は必ず適当な位数 q の有限体上の n-次正方行列環 Mn(Fq) に同型である。このことはジョセフ・ウェダーバーンが1905年と1907年に確立した二つの定理から従う。
省5
477(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/08/21(金)07:48 ID:WrfyH/cJ(11/22) AAS
>>476
つづき
主イデアル環
詳細は「主イデアル整域」および「主イデアル環」を参照
環は整数全体とよく似た構造を示す代数系だが、一般の環を考えたのではその環論的性質は必ずしも近いものとはならない。整数に近い性質を持つ環として、環の任意のイデアルが単独の元で生成されるという性質を持つもの、すなわち主イデアル環を考えよう。
環 R が右主イデアル環 (PIR) であるとは、R の任意の右イデアルが
aR={ar ｜ r∈ R }
省3
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