[過去ﾛｸﾞ] 純粋・応用数学（含むガロア理論）3 (1002ﾚｽ)
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449(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/08/20(木)00:24 ID:gmO23IhH(2/5) AAS
>>448

つづき

諸概念
体 K の乗法群の任意の有限部分群は巡回群である。

体の元の濃度を位数といい、有限な位数を持つ体を有限体と呼び、そうでない体を無限体と呼ぶ。有限斜体は常に可換体である（ウェダーバーンの小定理）。

n・1 で単位元 1 を n 回足したものを表すとき、n・1 = 0 となるような正の整数 n のうち最も小さなものをその体の標数という。ただし、そのような n が存在しないとき標数は 0 であると決める。体の標数は 0 または素数である。
省8

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450: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/08/20(木)00:25 ID:gmO23IhH(3/5) AAS
>>449
つづき

Division rings differ from fields only in that their multiplication is not required to be commutative. However, by Wedderburn's little theorem all finite division rings are commutative and therefore finite fields. Historically, division rings were sometimes referred to as fields, while fields were called "commutative fields".[5]

All division rings are simple, i.e. have no two-sided ideal besides the zero ideal and itself.

Main theorems
Wedderburn's little theorem: All finite division rings are commutative and therefore finite fields. (Ernst Witt gave a simple proof.)
Frobenius theorem: The only finite-dimensional associative division algebras over the reals are the reals themselves, the complex numbers, and the quaternions.
省7

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