[過去ﾛｸﾞ] 純粋・応用数学（含むガロア理論）3 (1002ﾚｽ)
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401(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/08/18(火)11:34 ID:6E5Q9lbT(2/9) AAS
>>371 補足
環における 零因子と逆元の関係
下記の全商環に全部書いてあるね
いろいろ書いてあるが、大体思っていた通りだな
（参考）
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
全商環
省8
402: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/08/18(火)11:35 ID:6E5Q9lbT(3/9) AAS
>>401
つづき
例
R がアルティン環ならば、R の任意の元は単元であるか零因子であるかのいずれかであるから、非零因子全体の成す集合 S は R の単数群 R× に等しいから、全商環 Q(R) は (R×)-1R と書けるが、しかしそもそも S = R× の元はすべて可逆だったのだから、(R×)^-1 ⊂ R であり、Q(R) = R が成立する。
同様のことが可換フォンノイマン正則環 R でもおきる。R の元 a が零因子ではないとすると、フォンノイマン正則環においては適当な元 x ∈ R をとって a=axa とかくことができるから、変形して a(xa - 1)=0 なる方程式を得るが、a は零因子ではないとしたのだから xa=1 となり、すなわち a が単元であることが従う。ゆえにここでも Q(R) = R である。
応用
代数幾何学において、スキーム上の全商環の層を考えることができて、それを用いてカルティエ因子 (Cartier divisor) の定義が与えられる。
省23
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