純粋・応用数学（含むガロア理論）3

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93: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2020/08/02(日) 12:56:28 ID:NrBYtRST

なんか、くさい、下手くそな あんたのカキコ
下記に書いてある通りでしょ

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B6%85%E6%BA%96%E8%A7%A3%E6%9E%90
超準解析

標準的な解決策は、微分積分学における操作を無限小ではなくイプシロン-デルタ論法によって定義することである。
超準解析（英: nonstandard analysis）[1][2][3]は代わりに論理的に厳格な無限小数の概念を用いて微分積分学を定式化する。N
onstandard Analysisは直訳すれば非標準解析学となるが、齋藤正彦が超準解析という訳語を使い始めたため、そのように呼ばれるようになった[4][5]。
無限小解析（infinitesimal analysis）という言葉で超準解析を意味することもある。

1973年、直観主義者アレン・ハイティングは超準解析を「重要な数学的研究の標準モデル」だと賞賛した。[9]

導入
順序体 F の非零元が無限小であるとは、その絶対値が 1/n（n は標準的自然数）の形をした如何なる F の元よりも小さいことをいう。
無限小を持つ順序体は非アルキメデス的であるという。もっと一般に、超準解析は超準モデルと移行原理に基づくあらゆる形態の数学をいう。
実数に対して移行原理を満たすような体を超実数体といい、超準実解析学はそういった体を実数の超準モデルとして用いる。

基本的定義
本節では超実数体  *R の最も簡明な定義のひとつを概説する。  R を実数体、  N を自然数の成す半環とする。また、  R^N によって実数列の成す集合を表す。
体  *R は   R^N  の適当な商（後述）として定義される。いま   N上の非単項超フィルター  F を取る。とくに  F はフレシェフィルターを含む。
次の2つの実数列を考える
u=(u_n),v=(v_n) ∈  R^N
このとき  u と  v が同値であるということを、それらが超フィルターに属す集合上で一致すること、あるいは同じことであるが、次の式によって定義する：
｛ n ∈  N :u_n=v_n｝ ∈ F
この同値関係による R^N の商がひとつの超実数体（a hyperreal field）*R を与える。この状況を簡単に  *R= R^N /F と表す。この構成は  F による R の超冪と呼ばれる。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/93

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