純粋・応用数学（含むガロア理論）3

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818: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [sage] 2020/08/28(金) 15:20:00.46 ID:GoijW/XC

>>816-817
ド・モアブルの上位互換が、下記のオイラーの公式です
”ド・モアブル”は、今後言わない方が良いと思う
コウモリに噛みつかれるだけだから（＾＾；

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AA%E3%82%A4%E3%83%A9%E3%83%BC%E3%81%AE%E5%85%AC%E5%BC%8F
オイラーの公式
(抜粋)
複素解析におけるオイラーの公式（オイラーのこうしき、英: Euler's formula）とは、複素指数函数と三角関数の間に成り立つ、以下の恒等式のことである：
e^iΘ =cos Θ +isin Θ
ここで e・[注 1]は指数関数、i は虚数単位、cos ・, sin ・ はそれぞれ余弦関数、正弦関数（三角関数）である。この等式は、任意の複素数 θ に対して成り立つが、特に θ が実数である場合がよく使われる。θ が実数のとき、e^iθ は、絶対値 1, 偏角 θ（単位はラジアン）の複素数に等しい。

公式の名前は18世紀の数学者レオンハルト・オイラーに因むが、最初の発見者はロジャー・コーツとされる。コーツは1714年に
log (cos x+isin x)=ix
を発見した[1]が、三角関数の周期性による対数関数の多価性を見逃した。

1740年頃オイラーはこの対数関数の形での公式から現在オイラーの公式の名で呼ばれる指数関数での形に注意を向けた。
指数関数と三角関数の級数展開を比較することによる証明が得られ出版されたのは1748年のことだった[1]。

この公式は複素解析をはじめとする純粋数学の様々な分野や、電気工学・物理学などで現れる微分方程式の解析において重要な役割を演じる。
物理学者のリチャード・ファインマンはこの公式を評して「我々の至宝」かつ「すべての数学のなかでもっとも素晴らしい公式」 [2][3]だと述べている。

オイラーの公式は、複素数の極形式を簡明な表示に導く。すなわち、複素数の極形式 z = r(cos θ + i sin θ) は z = re^iθ に等しい。また、特に、θ = π のとき、
e^iπ +1=0
が導かれる。この関係式はオイラーの等式 (Euler's identity) と呼ばれる。

オイラーの公式は、余弦関数、正弦関数の双曲線関数による表示を導く：
cos Θ =cosh iΘ
sin Θ =1/i sinh iΘ
応用上では、オイラーの公式により三角関数を複素指数関数に置き換えることで、微分方程式やフーリエ級数などが利用しやすくなる。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/818

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