[過去ﾛｸﾞ] 純粋・応用数学（含むガロア理論）3 (1002ﾚｽ)

純粋・応用数学（含むガロア理論）3 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/

上下前次1-新
通常表示 512ﾊﾞｲﾄ分割 ﾚｽ栞
抽出解除 ﾚｽ栞

---

このｽﾚｯﾄﾞは過去ﾛｸﾞ倉庫に格納されています｡
次ｽﾚ検索 歴削→次ｽﾚ 栞削→次ｽﾚ 過去ﾛｸﾞﾒﾆｭｰ

---

724: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2020/08/26(水) 23:38:31.48 ID:mnW83lWq >>691 >以下のpdfの、p216-221　 > 8. CHARACTERIZATION OF DIVISION RINGS >を読んで見な >https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/a0/Groups_Rings_Modules_Auslander_Hathitrust.pdf ざっと見たよ、面白かった けど、それ、下記の和文 wikipedia の出典5・参考文献の”Auslander & Buchsbaum”だね さらに、よく見ると、英文 en.wikipedia にも、面白いリンクがあるね https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%96%9C%E4%BD%93_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)#CITEREFAuslanderBuchsbaum2004 斜体 (数学) 斜体であるという性質は加群の圏の性質から特徴づけることもできる。環 R が斜体である必要十分条件はすべての左 R 加群が自由加群であることである[5]。 出典 5.^ Auslander & Buchsbaum 2004, p. 221, Theorem 6.8.8. 参考文献 ・Auslander, Maurice; Buchsbaum, David (2014). Groups, Rings, Modules. Dover. ISBN 978-0-486-49082-3. MR0366959. Zbl 0325.13001 https://en.wikipedia.org/wiki/Division_ring Division ring In fact the converse is also true and this gives a characterization of division rings via their module category: A unital ring R is a division ring if and only if every R-module is free.[7] Notes 7^ Grillet, Pierre Antoine. Abstract algebra. Vol. 242. Springer Science & Business Media, 2007; a proof can be found here https://planetmath.org/ringswhoseeverymoduleisfree rings whose every module is free Author joking (16130) Last modified on 2013-03-22 (抜粋) so x is right invertible. Thus R is a divison ring. □ Remark. Note that this proof can be dualized to the case of right modules and thus we obtained that a unital ring R is a divison ring if and only if every right R-module is free. External links ・Grillet's Abstract Algebra, section VIII.5's characterization of division rings via their free modules. https://math.stackexchange.com/questions/75866/every-r-module-is-free-implies-r-is-a-division-ring http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/724

736: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2020/08/27(木) 07:45:18.38 ID:nLHDH0VU >>724 追加 (引用開始) Notes 7^ Grillet, Pierre Antoine. Abstract algebra. Vol. 242. Springer Science & Business Media, 2007; a proof can be found here https://planetmath.org/ringswhoseeverymoduleisfree rings whose every module is free Author joking (16130) Last modified on 2013-03-22 (引用終り) これ読んだ。疑問氷解！ ”Thus the only left ideals in R are 0 and R. Now let x∈R. Then Rx=R, so there exists β∈R such that βx=1. Thus every element is left invertible. But then every element is invertible. Indeed, if βx=1 then there exist α∈R such that αβ=1 and thus 1=αβ=α(βx)β=(αβ)xβ=xβ, so x is right invertible. Thus R is a divison ring. □” なるほど、 ”every element is left invertible. Indeed, if βx=1 ”を言って 　↓ ”then there exist α∈R such that αβ=1”が言えて 　↓ ”1=αβ=α(βx)β=(αβ)xβ=xβ, so x is right invertible. Thus R is a divison ring. ” と繋がるんだね βx=1とか、αβ=1とかを取ってくるのが、証明のキモだ あと、”Now let x∈R. Then Rx=R, so there exists β∈R such that βx=1.”もうまい。 これ、>>481 の”　0でない元aを取る。aから生成される単項イデアル(a)を考える。 明らかに(a)≠(0)だから、(a)＝Rとなる。”に類似している >>481でも、ここから”したがって1∈(a)となる（Iは”1”を含むがキモ）”を導いたんだ （上記、”let x∈R. Then Rx=R” と、”0でない元aを取る。aから生成される単項イデアル(a)を考える”とが、類似） チャート式風でいえば、”0でない元を取る”ですね ”then there exist α∈R such that αβ=1”が言えて 　↓ ”1=αβ=α(βx)β=(αβ)xβ=xβ, so x is right invertible. Thus R is a divison ring. ” も、頻出テクっぽいな http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/736

891: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2020/08/29(土) 13:26:12.38 ID:T0GrcKp2 >>724 (引用開始) https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%96%9C%E4%BD%93_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)#CITEREFAuslanderBuchsbaum2004 斜体 (数学) 斜体であるという性質は加群の圏の性質から特徴づけることもできる。環 R が斜体である必要十分条件はすべての左 R 加群が自由加群であることである[5]。 出典 5.^ Auslander & Buchsbaum 2004, p. 221, Theorem 6.8.8. 参考文献 ・Auslander, Maurice; Buchsbaum, David (2014). Groups, Rings, Modules. Dover. ISBN 978-0-486-49082-3. MR0366959. Zbl 0325.13001 読んだ なかなか面白かったな 以下要点抜粋（興味のある方は本文をどぞ） >https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/a0/Groups_Rings_Modules_Auslander_Hathitrust.pdf Groups, Rings, Modules. Auslander, Maurice; Buchsbaum, David (1974). (抜粋) P57 Definition Let R be a ring. By an R -module structure on an abelian group M we mean a map RxM→M which we denote by (r, m)→rm satisfying: (a) (r1 + r2)m = r1m + r2m. (b) r(m1 + m2) = rm1 + rm2. (c) (r1r2)(m) = r1(r2m). (d) 1m = m. An abelian group together with an R-module structure is called an It-module. We shall return later on to this general notion of a module. In fact, most of this book will be devoted to a detailed study of rings and modules. つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/891

---

ﾒﾓ帳

(0/65535文字)

---

上下前次1-新書関写板覧索設栞歴

---

ｽﾚ情報 赤ﾚｽ抽出 画像ﾚｽ抽出 歴の未読ｽﾚ AAｻﾑﾈｲﾙ

---

Google検索

Wikipedia

---

ぬこの手 ぬこTOP 0.034s