[過去ﾛｸﾞ] 純粋・応用数学（含むガロア理論）3 (1002ﾚｽ)

純粋・応用数学（含むガロア理論）3 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/

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691: １３２人目の素数さん [sage] 2020/08/26(水) 18:14:46.42 ID:iiai9c8f >>689 ＞この後を聞きたいのだが ＞つまり、・・・ ＞”単位的環 R が斜体である必要十分条件は ＞すべての左 R 加群が自由加群であることである[5]。” ＞をどぞ、語ってください 以下のpdfの、p216-221　 8. CHARACTERIZATION OF DIVISION RINGS を読んで見な https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/a0/Groups_Rings_Modules_Auslander_Hathitrust.pdf ま、しかし、大学にも入れない君には決して理解できないよ　 だから諦めな　高卒に、代数なんか無理 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/691

695: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [sage] 2020/08/26(水) 18:45:07.61 ID:xagmva3J >>690 >まず、一般の環について「零因子を持たない」と「0以外の元に逆元が存在して、積が群になる」は同値ではありません >整数環がいい例です　零因子はありませんが、１とー１以外の元には逆元がありません うん だが、零因子でなければ、逆元を追加できるよね つまり、整数環に逆元を追加してやれば、有理数体が構成できるよね だから、”逆元を追加できる”という条件下では、同値？ >>691 ありがと ちらっと見た 1974か、ちょっと古いけど Categoryも入っているね（＾＾ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/695

724: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2020/08/26(水) 23:38:31.48 ID:mnW83lWq >>691 >以下のpdfの、p216-221　 > 8. CHARACTERIZATION OF DIVISION RINGS >を読んで見な >https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/a0/Groups_Rings_Modules_Auslander_Hathitrust.pdf ざっと見たよ、面白かった けど、それ、下記の和文 wikipedia の出典5・参考文献の”Auslander & Buchsbaum”だね さらに、よく見ると、英文 en.wikipedia にも、面白いリンクがあるね https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%96%9C%E4%BD%93_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)#CITEREFAuslanderBuchsbaum2004 斜体 (数学) 斜体であるという性質は加群の圏の性質から特徴づけることもできる。環 R が斜体である必要十分条件はすべての左 R 加群が自由加群であることである[5]。 出典 5.^ Auslander & Buchsbaum 2004, p. 221, Theorem 6.8.8. 参考文献 ・Auslander, Maurice; Buchsbaum, David (2014). Groups, Rings, Modules. Dover. ISBN 978-0-486-49082-3. MR0366959. Zbl 0325.13001 https://en.wikipedia.org/wiki/Division_ring Division ring In fact the converse is also true and this gives a characterization of division rings via their module category: A unital ring R is a division ring if and only if every R-module is free.[7] Notes 7^ Grillet, Pierre Antoine. Abstract algebra. Vol. 242. Springer Science & Business Media, 2007; a proof can be found here https://planetmath.org/ringswhoseeverymoduleisfree rings whose every module is free Author joking (16130) Last modified on 2013-03-22 (抜粋) so x is right invertible. Thus R is a divison ring. □ Remark. Note that this proof can be dualized to the case of right modules and thus we obtained that a unital ring R is a divison ring if and only if every right R-module is free. External links ・Grillet's Abstract Algebra, section VIII.5's characterization of division rings via their free modules. https://math.stackexchange.com/questions/75866/every-r-module-is-free-implies-r-is-a-division-ring http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/724

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