純粋・応用数学（含むガロア理論）3

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687: １３２人目の素数さん [sage] 2020/08/26(水) 17:40:56.87 ID:iiai9c8f

>>675
＞Rが一般の環などになると、基底を持つ持たないは、結構ややこしいということですね

単に◆yH25M02vWFhP が、「一次独立」を全然理解してないだけ

■環上の加群
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%92%B0%E4%B8%8A%E3%81%AE%E5%8A%A0%E7%BE%A4

抽象代数学における環上の加群（かぐん、英: module）とは、ベクトル空間を一般化した概念で、
係数（スカラー）を体の元とする代わりに、より一般の環の元としたものである。
つまり、加群とは（ベクトル空間がそうであるように）加法的なアーベル群であって、
その元と環の元との間に乗法が定義され、
その乗法が結合的かつ加法に関して分配的となるようなものである。

Z を有理整数環とすると、Z-加群の概念はアーベル群の概念に一致する。
すなわち、一意的な仕方で任意のアーベル群を Z 上の加群にすることができる。
これには、n > 0 に対して nx = x + x + ... + x（n-項の和）とし、
0x = 0 および (−n)x = −(nx) とおけばよい。
このようにアーベル群を加群と見たものは必ずしも基底を持たない。
実際、ねじれ元を持つような群は基底を持たない
（ただし、有限体をそれ自身の上の加群と見たときは基底を持つ）。

■捩れ（代数元）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8D%A9%E3%82%8C_(%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%AD%A6)

抽象代数学において、捩れ（ねじれ、英: torsion）は、・・・
環上の加群の場合は、環のある正則元によって零化される加群の元を言う。

環 R 上の加群 M の元 m は、環の正則元（＝零因子でない元）r が存在して、
m を零化する、すなわち r m = 0 となるとき、
加群の捩れ元 (torsion element) という。

■自由加群
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%94%B1%E5%8A%A0%E7%BE%A4

R-加群 M について、集合 E ⊂ M が M の基底であるとは、次の2条件を満たすことである。

・E は M を生成する。
　すなわち、M の任意の元は E の元に R の係数をかけたものの有限和である。
・E は一次独立である。
　すなわち、任意の E の互いに異なる有限個の元e1,e2,…,enに対して
　r1e1+r2e2+…+rnen=0Mであれば、r1=r2=・・・=rn=0Rとなる。

R-加群 M が基底をもつとき、M は自由加群であるという。
---

>>681
>自由加群とは、ねじれフリーの加群ということですね

自由加群（つまり基底がある）⇒ねじれ元がない　がいえる（基底の定義から自明）
しかし逆は即座には言えない
（つまりねじれ元がなくても、基底が存在しない場合があり得る）

自由、とはいかなる（自明でない）関係式も存在しない、という意味
つまりねじれ以外の関係式も存在しない

とはいえ、基底とか一次独立とか知らないとか、
大学全く行ったことないのがバレバレ
（理系大学卒なら、こんなの大学1年の線形代数で習う常識中の常識）

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/687

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