純粋・応用数学（含むガロア理論）3

[過去ﾛｸﾞ] 純粋・応用数学（含むガロア理論）3 (1002ﾚｽ)
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68: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2020/07/24(金) 23:33:07 ID:9ZL6gwFd

>>66
少し補足と纏めを書いておく

１．”εδ論法”が適用できるのは、位相空間の内の距離空間に対してだが
２．距離空間で、「ある正の数 ε が存在して x を中心とする半径 ε の開球（ε-近傍 , ε-開球）」を考えると、（開）近傍系ができる
　（ε-近傍とかよばれ、開集合の公理を満たす）
３．距離空間は、ハウスドルフ（という性質）で、分離公理を満たす。
４．ハウスドルフ空間においては点列（あるいはより一般に、フィルターやネット）の極限の一意性が成り立つ
　この”極限の一意性”という性質が、即ち ”εδ論法”の成立つゆえんである
５．さて、開集合の公理で、下記の”３．任意の個数(有限でも無限でもよい)の開集合の和集合は開集合である”がある
　（余談だが、小さい開集合の和を取れば、いくらでも大きな開集合は出来るので、ε＝1000000000000 などを考える必要はない！）
６．なので、「如何に小さい開集合が取れるか？」ということが、位相空間の性質を決めるのです
　2つの異なる点を分離できるほど、いくらでも細かい開集合が取れるというのが、ハウスドルフであって、距離空間ではハウスドルフが成立ち、”εδ論法”が成立つ
７．つまりは、”εδ論法”というのは、”いくらでも小さい開集合が取れる”という距離空間の性質を、”任意の（小さい）εうんぬん”と言い換えているだけのこと
　そいういう見方もできる
８．つまりは、”εδ論法”だけで悩んでないで、早く位相空間という高い視点から眺めるのがいい！！ ということなのです（＾＾

（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B7%9D%E9%9B%A2%E7%A9%BA%E9%96%93
距離空間
(抜粋)
距離空間では、距離を用いて近傍系を定義する事もできるため、位相空間の特殊な例になっている。
フェリックス・ハウスドルフは位相空間の重要な性質として距離・近傍系・極限の 3 つを考察し、近傍系を選び位相空間の公理化を行った。そして、極限や連続性などの概念も距離とは無関係に一般化されていった。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/68

69: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2020/07/24(金) 23:33:32 ID:9ZL6gwFd

>>68
つづき

距離の誘導する位相
X を距離空間、Aをその部分集合とする。A の点 x について、ある正の数 ε が存在して x を中心とする半径 ε の開球（ε-近傍 , ε-開球）
A を点 x の近傍という。 X における x の近傍の全体 V(x)（近傍は X の部分集合なので V(x) は集合族になる）を x の近傍系という。
このようにして X の各点 x に対しX の部分集合の族 V(x) を対応させる対応は位相空間論における近傍系の公理を満たしており、X を位相空間と見なすことができる。

実数の直積集合における距離
実数全体のなす集合 R に、距離 d を絶対値を用いて d2(x, y) = |x - y| と定めることで、 (R, d) は距離空間になる。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BD%8D%E7%9B%B8%E7%A9%BA%E9%96%93
位相空間
(抜粋)
数学における位相空間（いそうくうかん、英語: topological space）とは、集合にある種の情報（位相、topology）を付け加えたもので、この情報により、連続性や収束性といった概念が定式化可能になる。

収束の一意性は、位相空間に「ハウスドルフ性」という性質を加えると成立する。

開集合を使った特徴づけ
Xを集合とし、  Oをべき集合 P(X)の部分集合とする。
Oが以下の性質を満たすとき、組 (X, O)を X を台集合とし  Oを開集合系とする位相空間と呼び、 Oの元を X の開集合と呼ぶ。
１． Φ ,X ∈ O
２． ∀ O1,O2 ∈ O : O1 ∩ O2 ∈ ∈ O
３． ∀ {Oλ}λ∈Λ ⊂ O : ∪_λ∈Λ ∈ O

これらの性質の直観的意味は下記の通りである
１．空集合と全体集合は開集合である。
２．2つの開集合の共通部分は開集合である。(よって（零個を除く）有限個の開集合の共通部分は開集合 となるが、無限個の共通部分は開集合とは限らない)
３．任意の個数(有限でも無限でもよい)の開集合の和集合は開集合である。
開集合系  {O}}}{O}を一つ定める事で、集合 X が位相空間になるので、OをX 上の位相(構造)と呼ぶ。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/69

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