[過去ﾛｸﾞ] 純粋・応用数学（含むガロア理論）3 (1002ﾚｽ)

純粋・応用数学（含むガロア理論）3 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/

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668: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [sage] 2020/08/25(火) 15:05:54.78 ID:2yNZ8A8t >>667 つづき いくつかの事実 有限生成加群の部分加群は一般には有限生成でない。例えば、可算個の変数をもつ多項式環 R = Z[X1, X2, ...] を考えよう。R 自身は有限生成 R-加群である（{1} が生成集合）。定数項が 0 の多項式すべてからなる部分加群 K を考えよ。すべての多項式は係数が0でないような有限個の項のみからなるから、R-加群 K は有限生成でない。 一般に、加群は、すべての部分加群が有限生成であるときにネーター加群と呼ばれる。ネーター環上の有限生成加群はネーター加群である（実はこの性質がネーター環を特徴づける）。ネーター環上の加群が有限生成であるのはそれがネーター加群であるとき、かつそのときに限る。これはヒルベルトの基底定理と似ているが、同じではない。これはネーター環 R 上の多項式環 R[X] はネーター環であるというものである。いずれの事実によってもネーター環上の有限生成代数はまたネーター環である。 より一般に、代数（例えば環）は有限生成加群であれば有限生成代数（英語版）である。逆に、有限生成代数が（係数環上）整であれば、有限生成加群である。（詳細は整拡大参照。） 可換環上の有限生成加群 可換環 R 上の有限生成加群に対して、中山の補題は基本的である。ときどき補題によって有限生成加群に対して有限次元ベクトル空間的な減少を証明することができる。 可換代数 A が R 上有限生成環 (finitely generated ring) であるとは、A の元の集合 G = {x1, ..., xn} が存在して G と R を含む A の最小の部分環 は A 自身であるということである。環の積を元を結合するのに使ってもよいので、単に G の元の R-線型結合以上のものが生成される。例えば、多項式環 R[x] は環として {1,x} で有限生成されるが、加群としてではない。 つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/668

669: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [sage] 2020/08/25(火) 15:08:00.68 ID:2yNZ8A8t >>668 つづき 生成ランク 単項イデアル整域 (PID) 上の有限生成加群が捩れなし（英語版） (torsion-free) であることと自由であることは同値である。 これはPID上の有限生成加群の構造定理の結果である。 その基本的な形は、PID 上の有限生成加群はねじれ加群と自由加群の直和であるというものである。 しかしそれは直接次のようにも示せる。 M を PID A 上捩れなし有限生成加群とし、F を極大自由部分加群とする。 f を A の元であって fM⊂ F とする。 このとき fM は自由加群の部分加群で A は PID なので自由である。 しかし今 f:M→ fM は M が捩れなしだから同型である。 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%92%B0%E3%81%AE%E5%B1%80%E6%89%80%E5%8C%96 環の局所化 (抜粋) 環の局所化（きょくしょか、英: localization）あるいは分数環 (ring of fraction)、商環 (ring of quotient)[注 1] は、環に乗法逆元を機械的に添加する方法である。すなわち、環 R とその部分集合 S が与えられたとき、環 R' と R から R' への環準同型を構成して、S の準同型像が R' における単元（可逆元）のみからなるようにする。さらに、R' が「可能な限りで最良な」あるいは「最も一般な」ものとなるようにするということを考える（こういった状況はふつうは普遍性によって表されるべきものである）。環 R の部分集合 S による局所化は S?1R で表され、あるいは S が素イデアル {p}}} {p}} の補集合であるときには R_ {p}}}R_{{ {p}}}} で表される。S?1R のことを RS と表すこともあるが、通常混乱の恐れはない。 局所化は完備化と重要な関係があり、環を局所化すると完備になるということがよくある。 つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/669

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