純粋・応用数学（含むガロア理論）3

[過去ﾛｸﾞ] 純粋・応用数学（含むガロア理論）3 (1002ﾚｽ)
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664: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [sage] 2020/08/25(火) 11:23:14.08 ID:2yNZ8A8t

>>659
>参考になるな。自由は"free "の訳語だが、"free "には、ただ（只）とか、ある性質が存在しないときにも使う
>”ねじれ”が、"free "なのかもね

下記も、ご参考
"free "は、日本語の”自由”よりも、意味の範囲が広いんだね

https://en.wikipedia.org/wiki/Free_object
Free object
(抜粋)
In mathematics, the idea of a free object is one of the basic concepts of abstract algebra. It is a part of universal algebra, in the sense that it relates to all types of algebraic structure (with finitary operations). It also has a formulation in terms of category theory, although this is in yet more abstract terms. Examples include free groups, tensor algebras, or free lattices. Informally, a free object over a set A can be thought of as being a "generic" algebraic structure over A: the only equations that hold between elements of the free object are those that follow from the defining axioms of the algebraic structure.

Definition
Free objects are the direct generalization to categories of the notion of basis in a vector space.

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/664

665: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [sage] 2020/08/25(火) 15:03:22.83 ID:2yNZ8A8t

>>664
「捩れ (代数学)」
”環上の加群の場合は、環のある正則元によって零化される加群の元を言う。”
”環 R 上の加群 M は、t(M) = M であるとき、捩れ加群 (torsion module) と呼ばれ、t(M) = 0 であるとき、捩れがない (torsion-free) と言う。”
”加群に対して
・M を任意の環 R 上の自由加群とすると、定義より直ちに、M は捩れがないことが分かる。特に、任意の自由アーベル群は捩れを持たず、体 K 上のベクトル空間は K 上の加群と見たとき、捩れがない。
・有限次元ベクトル空間 V に作用する線型作用素 L を考える。V を自然な方法で F[L]-加群と見ると、（多くのことの結果として、単純に有限次元性から、あるいはケイリー・ハミルトンの定理によって）V は捩れ F[L] 加群である。”
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8D%A9%E3%82%8C_(%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%AD%A6)
捩れ (代数学)
(抜粋)
捩れ（ねじれ、英: torsion）は、群の場合は、有限位数の元を言い、また環上の加群の場合は、環のある正則元によって零化される加群の元を言う。

加群に対して
環 R 上の加群 M の元 m は、環の正則元[注 1] r が存在して、m を零化する、すなわち r?m = 0 となるとき、加群の捩れ元 (torsion element) という[3][注 2]。加群 M の捩れ元すべてからなる集合を t(M) と表す。

環 R 上の加群 M は、t(M) = M であるとき、捩れ加群 (torsion module) と呼ばれ、t(M) = 0 であるとき、捩れがない (torsion-free) と言う。t(M) が M の部分加群をなすとき、t(M) を捩れ部分加群 (torsion submodule) という。環 R が整域(可換性だけでは足りない。実際Z/6Zを自分の上の加群と見てみればよい)であれば、t(M) は捩れ部分加群である。R が非可換であれば t(M) は部分加群になるとは限らない。R が右Ore環（英語版）であることと、t(M) がすべての右 R 加群に対して M の部分加群であることとは同値である[4]。右ネーター域は Ore であるので、これは、R が右ネーター域の場合を含んでいる。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/665

673: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [sage] 2020/08/25(火) 15:59:43.36 ID:2yNZ8A8t

>>664 追加

ベクトル空間、体、基底 について
この関係は、あまり詳しく書いてないですね

（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB%E7%A9%BA%E9%96%93
ベクトル空間

線型代数学におけるベクトル空間（ベクトルくうかん、英: vector space）、または、線型空間（せんけいくうかん、英: linear space）は、ベクトル（英: vector）と呼ばれる元からなる集まりの成す数学的構造である。ベクトルには和が定義され、またスカラーと呼ばれる数による積（スカラー乗法）を行える。スカラーは実数とすることも多いが、複素数や有理数あるいは一般の体の元によるスカラー乗法を持つベクトル空間もある。ベクトルの和とスカラー倍の演算は、「ベクトル空間の公理」と呼ばれる特定の条件（後述）を満足するものでなければならない。

定義
「体 F 上のベクトル空間 V 」とは、後に述べるような、二種類の演算を備えた集合 V のことである。ベクトル空間 V の元はベクトル (英: vector ) と呼ばれる。体 F は係数体 (英: coefficient field, scalar field ) と呼ばれる。係数体 F の元はスカラー (英: scalar ) あるいは係数 (英: coefficient ) と呼ばれる。ここではベクトルをスカラーから区別するために、ベクトルは太字で表す[nb 1]。

基底と次元
詳細は「基底」および「次元」を参照
基底は簡明な方法でベクトル空間の構造を明らかにする。
基底とは、適当な添字集合で添字付けられたベクトルの（有限または無限）集合 B = {vi}i ∈ I であって、それが全体空間を張るもののうちで極小となるものを言う。

歴史
ベクトル空間は、平面や空間に座標系を導入することを通じて、アフィン空間から生じる。1636年ごろ、ルネ・デカルトとピエール・ド・フェルマーは、二変数の方程式の解と平面曲線上の点とを等化して、解析幾何学を発見した[4]。座標を用いない幾何学的な解に到達するために、ベルナルド・ボルツァーノは1804年に、点同士および点と直線の間の演算を導入した。これはベクトルの前身となる概念である[5]。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/673

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